NOPD的椭球状散体元建模

　　非阻塞性微颗粒复合阻尼技术(Non-Obstructive Particle Damping，简称NOPD)是八十年代末，由美国洛克威尔((Rockwell)公司的H.V.Panossian博士首先提出的。该项技术的要点是:将振动结构能量传输通道的某些部位，设计处理成一组小孔或蜂窝状结构，并在小孔或蜂窝空腔内适量装入某种类型的微颗粒，使之处于非阻塞状态(从而呈非连续介质特性)，这种复合结构可以对所期望的模态产生最大阻尼效应。这些微颗粒可以是不同形状的金属或非金属，如粉末、球状、不规则形状颗粒。该技术具有不改变结构外形尺寸、不增加附加质量、抗老化、耐恶劣环境、减振降噪效果好等一系列优点，目前已成功应用于涡轮机叶片的减振降噪中。文[[1} 2]建立了NOPD球状散体元模型(DEM)，但是，实际应用的颗粒并不是理想的球形，它们形状各异，有些颗粒表面上有棱角。这些特征用球形模型是不能很好表征的，而这些特征对颗粒组合体的力学性能有很大影响，从某些方面甚至可能是决定性的。为了更真实反映实际颗粒组合体的力学特性，文「3]提出了多棱角颗粒组合体的二维椭圆力学模型。本文在此基础上提出了一种椭球状散体元模型，通过椭球的长轴、中轴、短轴的不同比例或称为球形系数，来模拟不同形状的微颗粒。与球形模型相比，椭球形模型的接触判断及运动学、动力学行为都较为复杂，但DEM计算过程基本是一致的。因此，本文重点讨论椭球单元的接触判断及运动学、动力学问题。

　　1椭球接触判断理论

　　对于空问两个椭球，其简图如图1所示·设椭球1的三轴长分别为a0,b0,c0椭球2的三轴长分别为a, b, r，则在各白的局部坐标系中，它们的方程分别为

　　由空问解析几何知，两个坐标系之问有如下变化关系

　　其中，(xo,yo,zo)为椭球1的中心在椭球2的局部坐标系中的坐标，(a1,b1,c1)为椭球2的局部坐标系的x轴在椭球1的局部坐标系中的方向余弦:(a2,b2,c2)为椭球2的局部坐标系的Y车由在椭球1的局部坐标系中的方向余弦:(a3,b3,c3)为椭球2的局部坐标系的:轴在椭球1的局部坐标系中的方向余弦。

　　将(3)式代入((2)式得到椭球2在椭球1局部坐标系中的方程

　　现在椭球1上求一点，使得函数(x, y, z)取极值。根据拉格朗日条件极值定理，引入一个参数λ，所求点的坐标满足如下方程组

　　由前三个方程可得到以入为参数的关于x, y,z的方程如下

其中为系数行列式分别为用常数向量代替系数矩阵的相应列而得到的矩阵行列式。

　　将((8)式代入((6)式的第四个方程并整理得到