基于FPK方程的一类非线性问题辨识方法

　　一个精确可靠的数学模型是结构动力分析、动态最优设计、评价结构特性、分析产生振动和噪声的原因并进而对结构实行控制和仿真的基础。通过系统辨识得到系统模型参数的技术越来越受到人们的重视。目前对应于单自由度(SDOF)非线性系统的辨识方法已有多种。NARMAX方法是一种具有普遍意义的辨识方法,最初由Billings等人于1981年由线性时间序列理论ARMA模型扩展而来[1～2]。复刚度法是一种由频域数据识别非线性系统物理参数的方法,M Mertens等人于1989年最早采用[3]。Crawley利用其提出的FSM(ForceState Mapping)方法辨识航天器连接结构的模型及参数,该方法将连接结构产生的非线性恢复力表示为其运动状态(位移、速度)的可迭加类型的非线性函数,物理意义直观明确[4]。Masri等提出的恢复力方法(Restoring Force Method)与FSM方法类似[5～6]。Tang Jiashi提出在频域中辨识非线性系统参数[7]的方法。刘强和丁文镜将Hermite多项式应用到非线性振动系统的辨识中[8]。

　　本文推导了单自由度非线性(恢复力的非线性)系统受高斯白噪声激励时,非线性恢复力和位移响应的概率密度的关系。故可通过系统对高斯白噪声激励的实验,得到系统位移响应的概率密度,利用非线性恢复力和响应的概率密度的关系,得到非线性恢复力模型。通过数字仿真给出了具体的步骤和算例,并进行了验证。本文方法和文献[8]提出的方法都是基于FPK方程,同属于一种非参数识别法,但与之相比,更简洁易行。

　　1　一类能用FPK方法求得精确稳态解的非线性动力学系统及其解

　　设系统模型的一般形式为

　　其中　y∈R,m,c为已知常数,N(t)为平稳高斯白噪声激励,F(y)是系统模型中待辨识的非线性恢复力。

　　令y(t)=z1(t),y。(t)=z2(t),借助于维纳过程,并把方程改写为等价的状态空间表达式,得如下形式的伊藤随机微分方程

　　在数学上已证明[10],该方程的马尔科夫过程解唯一,若方程中φ(Z(t),t)和Ψ(Z(t),t)是满足以下条件的实函数:

　　1)它们是二元连续函数,而且关于Z是t的一致连续函数;

　　2)增长条件: φ(Z,t) 2≤K2(1 +Z2), Ψ(Z,t) 2≤K2(1 +Z2);

　　3)李扑希兹条件

　　其中　K是某个正数,另外再要求Z(t0)=Z0与W(t),t∈T独立。

　　由方程(2)可得对应的FPK方程

　　其中　p=p(Z,t Z0,t0)为系统状态的转移概率密度。

　　目前还不能得到此方程的精确解,但其稳态形式

　　2　非线性参数辨识过程

　　由此可知,若能通过实验得到系统在白噪声激励下的位移响应的概率密度p(y),则很容易得到动力学系统的非线性恢复力。该方法具有如下的特点: