梯度功能压电悬臂梁的几个解析解

    自80年代末梯度材料的概念问世以来,对梯度材料的研究受到了人们越来越多的关注,如梯度材料中的断裂问题[1～3],密度梯度压电陶瓷执行器的制备问题[4,5],密度梯度压电悬臂梁梁端受集中力偶[6]、轴向集中力[7]和横向集中力[8]单独作用下的基本解以及梯度材料概念问世近10年来该领域的研究进展问题等[9,10]。

　　笔者将进一步研究密度梯度功能压电悬臂梁在轴向均布荷载和横向以及外加直流电压分别作用下的解析解。采用逆解法,首先求得用于求解密度梯度悬臂梁的应力函数φ和电位移函数Ψ,进而求得梁中弹性场和电场的解析解。作为特例,同时还得到了常体力和无体力情况下压电悬臂梁中的解答,并绘制了梯度功能锆钛酸铅PZT(即Pb(Ti0.48Zr0.52)O3)悬臂梁的力-电特性曲线。

    1　基本方程

　　对于x-z面内的平面应变问题,设材料沿z轴极化,其控制方程及所用符号如文[6]所示。其中由应力分量和电位移分量表示的应变以及电场强度的协调方程可表示如下:

　　对密度梯度功能压电悬臂梁,考虑梁的密度仅沿z轴呈梯度变化,为此不妨将体积力表示为Fx=0,Fz=- V/ z,(V为势函数)。由平衡方程,引入应力函数φ和电位移函数Ψ,使得

    2　压电悬臂梁受轴向均布荷载作用

    2.1　密度梯度压电悬臂梁的解析解

    对图1所示悬臂梁,下表面接地,上表面受均布轴向荷载作用,将势函数V作级数展开,不失一般性,在此任取两项如V=γ1z3+γ2z为例进行分析,其中γ1和γ2为材料常数。将应力函数φ和电位移函数Ψ设定为

　　对图1所示悬臂梁,应力边界条件和电位移边界条件可表示为

梁中横向位移和电势的解答可确定为

图2～图4分别绘制了锆钛酸铅[11]密度梯度悬臂梁梁中应力和电位移、应变和电场强度以及位移和电势在梁横截面内的分布曲线(取L=100 mm,h=2mm,q=1×10-5N/mm)。

    2.2　常体力和无体力情况下压电悬臂梁的解答

　　若在势函数V中取γ1=0,γ2=-ρg则由解答(9)和(11)可得在常体力情况下(Fz=0,F2=ρg)压电悬臂梁的解析解。其中应力、电位移和电场强度为

    当不考虑体积力时(Fx=Fz=0),即在势函数V中取γ1=0,γ2=0,压电悬臂梁的解答(9)和(11)可进一步简化。应力、电位移和电场强度成为

    3　压电悬臂梁受横向均布荷载作用

    3.1　密度梯度压电悬臂梁的解析解

　　考虑图5所示悬臂梁,下表面接地,上表面受横向均布荷载q作用,应力函数φ和电位移函数Ψ可设定为 

利用约束条件方程(10),则横向位移和电势可求得为