平面柔性梁有限元动力学模型

    许多多体系统是由梁组合而成,研究这类系统涉及到梁的有限转动。梁的有限转动动力学问题有许多学者研究过,有很多成果,概括起来主要有:绝对坐标法、浮动坐标法。绝对坐标法[1]动能表达简单、不存在着刚体运动与弹性变形的耦合,然而此法在小应变、小变形的情况下也要按有限变形理论处理,涉及的理论深而繁,应用不便。本文提出一种在绝对坐标系中建立小变形有限转动平面梁多体动力学方程的有限元模型。

    1　位移关系

    现分析用平面运动梁组成的柔性多体系统中任意一个柔体的位移关系。建立如图1所示的坐标系(所有的坐标系为右手坐标系),O0XY惯性坐标系,-O-X-Y物体未变形未运动时,固连于物体上的坐标系,并且原点O与物体一端点相重合。-O-X为物体(伯努里-欧拉梁)的中性轴。OXY为-O-X-Y随着物体运动而变动的坐标系。

    随着物体的运动和变形,物体的挠曲线上任一点的位移也随之变化,任意一时刻,挠曲线上的点的位移形成一条连续的平面曲线C,假设这曲线有连续一阶导数,坐标系OXY的OX轴始终与曲线过端点O的切线相重合,设-O-X、OX的倾角分别为θ0、θ,物体中性轴上距端点为X任意一点A,运动变形后,变为A′点,如果物体不变形,则与A对应的点是B。由图1所对应的矢量关系得知A点的位移为AA′

其中U、V分别为A点位移所对应的分量,U0、V0为O点位移所对应的分量,Uf、Vf为A点变形位移所对应的分量。

    把位移转换到OXY中表示,则(5)式为

    2　动力学方程

    假设梁为平面伯努里-欧拉梁,梁的轴向变形与弯曲变形互相独立,梁轴向拉压产生的应变为:

    上面建立的是柔性多体系统中的一个物体的动力学方程,对于有几个物体组成的多柔体系统,对每个物体都可以建立如方程(17)的动力学方程。根据各个物体之间在连接处的约束条件,象有限元法处理几个相连物体之间的约束一样,在连接处,有相同的线位移,而转动位移不相同,按这样的方式,如有限元法一样,组装成整个系统的动力学方程为:

    [M]{d}+[φ]^T[K][φ] = [f]        (18)

    系统的动力学方程(18)是一个非线性方程,它具有如下特点:质量阵[-M]就是有限元法中一致质量阵,刚度阵[~K〗是有限元法中的刚度阵加上对应于每个柔体端点转动位移θ的行加一个附加量的矩阵,且其附加量与刚度阵的元素为同一量级。

    3　数值算例

    图2所示平面操纵器,物体1以匀角速度θ′=10rad/s旋转,并用铰接力矩保持物体2在水平位置,物体的重力向下。本文给出的用于模拟数据是长度L=0.8 m,模截面积A=0.0004m2,两个物体的质量m=2.512 kg,物体1的抗弯刚度BIz=1.10×104Nm2,物体2的抗弯刚度EIz=0.275×104Nm2。每个物体分成8个单元,物体1从起始位置θ′=θ2=0旋转一周模拟此系统。为了说明物体1的弹性变形对物体2产生的效应,考虑如下两种情况:a)物体1视为刚体,物体2是柔性体;b)两个物体都视为柔性体,图3显示物体2顶端在垂直方向的挠度,该结果与Amirouche和Idea[7]的结果相当吻合。