宽板V形自由弯曲过程的弹塑性数值分析

　　V形自由弯曲过程从形式上看十分简单，但其变形过程却是十分复杂.材料的机械性能、弯曲角、凹模肩部的开口宽度及圆角半径、凸模的圆角半径、板料厚度等因素都会对V形自由弯曲过程及弹复产生影响.因此研究这些因素的影响规律，对全面分析V形自由弯曲过程，提高V形弯曲件的成形精度，实现V形弯曲件成形过程的智能化控制都有较大的好处.目前国内外学者在弯曲件成形及弹复的实验研究和数值模拟方面已作了一些有益的工作:’一’〕.本文主要研究凹模开口宽度、凸模圆角半径这两个模具参数对V形自由弯曲成形过程及弹复的影响.

　　1 V形自由弯曲数值模拟中的弹塑性有限元方法

　　V形自由弯曲是一个材料非线性、几何非线性、边界条件非线性的三重非线性问题，而在几何非线性中，它又属于大位移、大转动、小应变问题.对这类问题，全拉格朗日列式法是比较方便的.一方面，应力、应变都是相对于初始构形，变量对坐标的求导运算只需计算一次就可保存起来以备后用;另一方面，由于是小变形问题，本构关系又可以得到简化.

　　在有限变形中，Kirchhoff应力和Green应变能构成共扼能量对，因此按照增量形式，可写出以下的虚功方程:

　　式中，S,;,E。分别为Kirchhoff应力、Green应变;W为外力虚功;变量的左上标表示所处的时刻，左下标表示参照时刻.

　　当物体由s时刻变化到c十么c时，参照初始构形f有

　　代人虚功方程并线性化，经过推导可得到下面平衡方程

　　其中

　　式中，fOC KL]为线性应变增量刚度矩阵，0[ BI]为线性应变一位移矩阵，占[ KL〕为非线性应变增量刚度矩阵，乱B」为非线性应变一位移矩阵，乱CJ为本构矩阵，‘十0` I R}为节点载荷列阵，占iF}为等效节点力矢量，{△“}为位移增量列阵(右上标i,i一1为迭代次数).式(3)中的占[S〕为Kirchhoff应力矩阵，式((4)中的olsl为Kirchhoff应力矢量，在平面应变、平面应力情况下

　　然而，几何非线性问题至今尚未完全成熟，上面推导过程的线性化问题也存在着不同学派的争鸣，并未得到一个权威性的结论.本文给出的全拉格朗日有限元列式只是目前比较常用的一种列式，更完整的列式可参考文献「6].

　　另外，在全拉格朗日列式中，精确的本构关系是较难得到的，必须借助于焦曼应力率和变形率增量，经过推导才能得到，而且表达式非常复杂.然而对于大位移、大转动、小应变问题，本构关系可以简化为小变形情况下的弹塑性本构矩阵.

　　2 数值分析

　　本文分析的是宽板的v形自由弯曲，所以可以当作平面应变来处理.图1是计算中所用的模型.表1为计算中所采用的各参数数值.