横观各向同性层合压电矩形板稳定问题的三维精确分析

    用数学弹性稳定理论的方法来解决弹性板壳的稳定问题具有很多优点,特别是相关精确解可以用来检验二维简化板壳理论及数值方法的适用性。王震鸣[1]利用胡海昌的位移函数求解了两对边简支均匀受压的无限宽平板的稳定等问题。柳春图[2]用三角函数表示平板位移,推导了四边均匀受压简支矩形板的临界荷载公式。王飞跃和何福保[3]同样引入胡海昌的位移函数,将面内双向均匀受压和受剪的平板稳定性问题,归结为求解三个非耦合的二阶偏微分方程式。以上工作均针对各向同性弹性材料且板为单层均质。

　　压电矩形板的静动力学研究近来引起较大的关注[4]。基于状态空间方程的分析方法与传统的三角函数展开方法相比,最后的求解矩阵的阶数不随层数的增加而扩大,因此特别适用于层合结构的分析[5]。Lee和Jiang[6]以及陈伟球等[7]各自导出了三维的状态空间方程并用于压电矩形板的弯曲分析。

　　研究横观各向同性层合压电矩形板(假设各向同性面和板的中面相平行)面内双向均匀受压的稳定问题。通过引入两个位移函数和两个应力函数,发现可以从横观各向同性压电弹性力学的三维基本方程出发导出两个相互独立的低阶状态空间方程。这方法不仅具有一般状态空间方法的优越性,而且使原方程解耦为两个低阶方程,从而极大地简化了具体问题的求解。针对四边简支的层合压电矩形板的稳定问题,导出了相应的特征方程,并给出了具体算例。

    1　基本方程

　　对于横观各向同性压电弹性体,在直角坐标系中其本构关系为

式中u,v和w分别为x,y和z方向的位移分量,Di为电位移分量,为电势,cij是弹性常数,其中c11-c12=2c66,εij是介电常数,eij是压电常数。控制微分方程为[3]

式中p1和p2分别为矩形板沿x-和y-方向所受的均匀压力。式(3)为静电学平衡方程[8]。

    2　状态空间法新列式

　　用位移函数Ψ和G及应力函数τ1和τ2对位移u和v,剪应力τxz和τyz作如下变量替换

其中Λ= 2/ x2+ 2/ y2为平面Laplace算子,Γ=p1/ 2/ x2+p2 2/ y2。根据文[9]附录A的证明,由式(8)得

    A= 0,B= 0          (11,12)

另利用式(4)分别由式(1)的第五、第九式,式(2)的第三式及式(3),得

可以看出,八个状态变量Ψ,τ1,G,σz,τ2,Dz,和w分成相互独立的两组;状态空间方程(17)和(18)与文[6,7]中的相比,阶数得到降低,有利于具体问题的求解并可提高计算效率。

　　利用本构关系式(1)容易将另三个应力分量和另两个电位移分量用状态变量来表示,即