各向异性多层圆柱壳与极角无关的应力和变形

　　以纤维缠绕型多层圆柱壳为代表的各向异性多层圆柱壳的应力分析,在压力容器及其他工程领域中,是一个重要的课题。文献[1]总结了60年代前这一领域的研究成果。这些成果沿用到今,仍为各类多层壳应力分析的理论基础。

　　笔者采用一个形式简洁,又与式(2)中第6个平衡方程相容的等效本构方程,讨论各向异性多层圆柱壳与极角无关的变形和应力分析方法,导出了挠度应满足的四阶常微分方程,由此给出了位移和应力的分析解。

　　1　基本关系和等效本构方程

　　设圆柱壳体的参考面是半径为a的柱面,柱面坐标x和y分别表示轴向坐标和极角。与极角无关的情况下,参考面的位移u、v和w都是x的函数,分别表示轴向、周向和径向位移。由文献[2],壳体的广义应变用u、v和w表示为

　　8个内力素T₁、T₂、T₁₂、T₂₁、M₁、M₂、M₁₂和M₂₁满足如下平衡方程

　　式中记号ε₁、ε₂、γ、K₁、K₂、τ、T₁、T₂、T₁₂、M₁、N₁、N₂、M₂₁、M₁₂、q₁、q₂和qn的含义与文献[2]相同。

　　取线弹性等效本构方程为

　　式中H和φ的意义与文献[2]相同,Cij、Kij、Dij和Eij便是等效弹性常数。

　　如果壳的参考面及其平行面内的应力分量和应变分量分别记作σx、σy、τxy与εx、εy、γxy,两者间的关系由如下线弹性本构方程描写

(6)

　　对于纤维单向缠绕层壳,如果缠绕螺旋角为θ,那末-Qij可用单向纤维复合材料的5个弹性常数E1、E2、υ12、υ21和G12表示,这5个常数分别表示纤维方向模量、横向模量、横向收缩比、纤维方向收缩比和纤维-横向剪切模量。按文献[3]

(8)

　　由式(3)~(5)表示的壳体等效本构方程已与式(2)第6个平衡方程相容。如果忽略φ,即在式(4)中与H相比,不计φ,这个等效本构方程成为文献[1]所推荐的形式。

　　方程(1) ~ (5)组成各向异性圆柱壳与极角无关问题的控制方程。

　　2　挠度微分方程及通解

　　引入变量M,使

　　由式(2)第1、2、5三式得到

　　按式(3) ~ (5),用u、v和w表示T1和M,得到

(11)

　　按式(3)~(5),用u、v、w表示这个方程,再将式中u′、v′、u 和v 由式(11)代入,得到挠度w的四阶常微分方程

　　系数Gi(i=1,2,3,4)、Fi(i=1,2,3,4)、D、B和A的算式在附录中给出。这些系数都是由层壳的结构几何参数和物理参数确定,与坐标x无关。

　　对一般工程应用问题,方程(12)中系数总满足条件　A/D-(B/D)2> 0