振动系统特征值问题的矩阵灵敏度分析

    引　言

    在结构优化设计、系统模型修改、结构参数识别、系统动力控制、工程近似分析和估计变化趋势中,灵敏度分析已成为多功能的设计工具。复杂结构系统的物理参数和几何参数是很多的,进行一次动态设计和修改,总是希望了解哪些结构系统参数对结构系统的频率和振型影响较大。这样就可以使结构系统脱离共振危险区,延长使用寿命,改善工作性能。

    灵敏度分析最初在对控制系统数学模型的参数变化的效果估价中得到了肯定,以后才进入到大型结构系统的优化设计中来。几十年来,在灵敏度分析方面已有了大量的成果,给出了特征值问题、静态和动态响应以及结构系统参数的优化设计等灵敏度分析的许多方法,如直接法、伴随变量法、有限差分法、Green函数法和FAST法等[1~5]。

    目前,有关一维矩阵函数的特征值问题的灵敏度分析已相当成熟,但二维矩阵函数的特征值问题的灵敏度分析还未见有成果发表。本文在直接法、Kronecker代数和矩阵微分理论的基础上,系统地发展了结构系统的特征值和特征向量的特征值问题,使向量值和矩阵值函数的特征值问题的灵敏度分析成为可能,结构系统特征值和特征向量的导数很方便地排列成二维矩阵,得到了优美的数学公式。

    1　系统特征值的灵敏度分析

    结构振动的特征值问题

其中:M和K分别为n×n阶的质量和刚度矩阵;λi为第i个特征值;Xi为相应的n维特征向量。显然,这些向量和矩阵分别是设计变量矩阵B=(bij)s×t的向量值和矩阵值函数矩阵。

    根据Kronecker代数和矩阵分析理论,将式(1)两边对设计变量矩阵求导数,有

其中:It和Is为t×t和s×s阶单位矩阵;符号 代表Kronecker积[6]。式(4)两边同时左乘Is XTi,并把式(1)和式(2)代入式(4),根据Kronecker代数的运算规则,有

其中:dλi/dB为特征值λi的灵敏度矩阵。这样就可以获得非重特征值问题的特征值的灵敏度矩阵。

    为了获得特征向量的灵敏度矩阵,把式(3)代入式(1),有

    Fi(B)Xi(B) =0            (6)

　　将式(6)对设计变量矩阵求导数,有

　　由于特征向量形成一个线性独立组,所以结构系统的任何一个位形的n维向量都可以由这些特征向量的线性组合构成。把特征向量对设计变量矩阵求导数表示成为

其中:Ak=(aijk)s×t为常数矩阵;Xi是第i阶特征向量;dXi/dB为特征向量Xi的灵敏度矩阵。

    把式(9)代入式(7),两边同时左乘Is XTl(l≠i),有

    为了得到Ai,把式(9)代入式(8),有

　　通过以上计算,可以获得向量值和矩阵值函数矩阵的非重特征值问题的特征向量的灵敏度矩阵。从理论公式可以看出,本文给出了含有一个设计变量矩阵的特征值和特征向量的灵敏度分析公式,使多个设计变量体现在同一计算公式中,发展并完成了二维矩阵函数问题的灵敏度分析方法。