复杂边界厚矩形板在静水压力作用下的弯曲

　　弯曲厚板在港口、码头、舰船、机械制造等部门有着广泛的应用。同时，由于厚板控制方程的复杂性，更有其重要的理论意义。

　　与经典弹性薄板弯曲理论相比，厚板的弯曲需要考虑横向剪力对变形的影响。横向切变形影响板的弯曲，有很多理论，诸如Reissner, Henkey,Kromn, Mindlin和Donell-Panc等理论。本文采用最早期著名的并得到广泛应用的Reissner理论。

　　对于求解厚板弯曲的方法，有叠加法、变分法、有限元法和初始函数等方法。在这些方法中，叠加法获得了广泛的应用并且也是较好的方法。叠加法能被应用于求解某些复杂边界条件的问题，但是它有两个缺点:其一，把一个复杂边界条件的问题分解为若干简单边界条件的问题并把它们叠加起来并不是件容易的事;其二，从头到尾的求解所有被叠加的边值问题过于烦琐。与叠加法比较，功的互等法没有这些缺点。

　　通常情况下，厚板所承受的载荷形式主要有均布力、集中力、集中弯矩、线性分布力、线性分布力矩和静水压力等，而在港口、码头、舰船等的计算中，不可避免的要考虑到静水压力的影响。本文对静水压力下厚矩形板的弯曲进行研究。

　　1 基本方程

　　对于Reissner理论，控制方程为

　　切力、弯矩、扭矩和转角分别为

　　边界条件由简支边、自由边和固定边组成。如图1所示，对于简支边x=0，边界条件为

　　对于自由边x=a，有

　　固定边y=0的边界条件为

　　2 功的互等法

　　图2为基本系统，是在流动坐标处作用一横向二维Dirack-Delta函数δ(x-ξ,y-η)的四边简支厚矩形板，将基本系统的解称为基本解[3]，并在基本解中用1标志，如Q1x0，ω1x0，m1x0，分别表示在x=0处的切力、转角和弯矩。

　　3 静水压力作用下对边简支另两边固定厚矩形板的弯曲

　　如图3所示，将静水压力作用下对边简支另两边固定厚矩形板看作实际系统，解除固定边的弯曲约束并用弯矩代替它们，得到解题的实际系统，并且把 看作为实际系统的等效载荷。设

　　其中αm=mπ/α 将(1-y/b)展开为级数形式，即

　　因此

　　在图2基本系统与图3实际系统之间应用互等定理，并将基本解的边界值和式(13)～(15)代入，得

　　同理可得与式(16)相同的另一W(ξ,η)表达式。限于篇幅此处不再给出。

　　假设应力函数为

　　式中:

　　使内弯矩式(6)等于边界弯矩式(13)，该应力函数被求解为