应力约束全局化处理的连续体结构ICM拓扑优化方法

　　结构优化学科的发展经历了从截面优化、形状优化到拓扑优化的过程，拓扑优化由于实质是在一定设计区域内寻求最佳传力路径，因而其优化效益比截面及形状优化更大。连续体结构拓扑优化通常能得到骨架类拓扑图形，所以应用在结构的概念设计阶段可以为设计者提供很好的参考^[1]。目前连续体结构拓扑优化研究得较多的问题通常是以全局性状态量(如柔顺度、位移、频率等)为约束或目标^[2]，而应力约束下的拓扑优化问题研究的相对较少^[3~6，但强度的满足是工程结构的基本要求，对应力约束下连续体结构拓扑优化的研究非常必要。目前各种方法对应力约束的处理一般都采用满应力的设计思想，也就是应力的零阶近似，个别研究用应力的一阶近似，但避免不了计算量极大的应力敏度计算。这些研究中，程耿东等用修正的满应力法对受应力约束的平面弹性体及薄板结构的拓扑优化问题进行了研究^[7,8]，双向进化结构优化方法(BESO)处理应力约束问题也基于满应力方法，对低应力单元进行删除，对高应力单元则加入^[9]，荣见华等则基于应力灵敏度的基础上使用 BESO 方法^[10]，文^[1,11,12]用 ICM(独立、连续、映射)方法处理了应力约束问题，但是应力处理还是满应力近似。应力约束下连续体结构的拓扑优化进展较慢，原因是这种约束在连续体结构拓扑优化中将带来如下困难：(1) 约束数目过多。在连续体结构拓扑优化中，一个单元对应一个设计变量，如果一个单元仅取一个点的应力进行约束，对划分为 N 个单元的结构，在 L 个工况下，则存在 N × L个应力约束条件，尽管做了准有效应力约束初选，入选的应力约束数目仍是相当可观，即使采用对偶规划算法，规划问题的规模仍非常大。(2) 敏度计算量太大，难以接受。本质上讲，应力约束是局部性约束，于是就导致应力约束全局化的思想。本文基于第四强度理论，对局部性的应力约束条件进行了全局化处理，用拓扑优化的 ICM 方法建立模型并予以求解。

　　1 应力约束全局化处理

　　全局性约束条件，如位移约束、频率约束或柔顺度约束等，通常约束数目远远地少于应力约束，因而敏度分析的计算量也少，建立优化模型不受约束数目的困扰。如果能把局部性应力约束转化为全局性应力约束，则可以克服应力局部性所带来的困难。对各向同性材料，某点的 Mises 应力可表达式为：

　　上式即可以看作全局性应力约束不等式。式(5)满足，则式(6)必定满足;然而式(6)满足，式(5)却不一定都满足。虽然这种求和方式的应力约束条件不能保证应力在每一点都满足约束，但它是一种全局性的满足，这种全局性特点减少了约束数目，而且能够在连续体结构拓扑优化中得到最佳传力路径，应力约束的精确满足可以在低层次优化(形状与截面优化)中来实现。