线性分布压力作用下开口厚壁圆筒空间轴对称问题的解析解

　　厚壁圆筒广泛应用于各类化工、管线、压力容器等领域[1],对其在各类压力环境下的分析有着重要意义。通过应力分析,准确掌握厚壁圆筒的应力应变,可以为设备的安全评估以及寿命预测提供可靠依据。在厚壁圆筒的分析方面,通常采用著名的Lame公式[2～5],但其应用条件是圆筒内外壁受均匀压力作用,然而工程上有许多实际问题是不能简单地简化为均匀压力,而应简化为线性载荷。在厚壁筒三维问题的分析研究方面,已得到了该问题的多项式解、级数解、康托洛维奇变分解以及高级康托洛维奇变分解[6,7],但这些数值近似方法都存在各自的局限性,如速度较慢、精度差。在弹性力学空间问题的解析解研究方面,由于所遇到的数学困难,到目前为止仅得到极少问题的解析解,大多数弹性空间问题只好借助近似数值求解。因此对线性分布压力作用下厚壁筒空间轴对称问题的解析解研究有着重要理论意义及使用价值。文献[8]利用幂级数以及分离变量的方法得到了柱面在线性变化压力作用下厚壁筒的严格解。本文从空间轴对称弹性力学基本方程以及边界条件出发,构造了一个新应力函数,推导出开口厚壁筒在线性分布压力作用下的解析解

　　1　基本方程

　　厚壁圆筒为空间轴对称,为研究方便可选取如图1所示圆柱坐标系。记为对应空间轴对称问题的应力函数,它应满足下列双调和方程。

　　2　应力函数

　　对上述空间轴对称问题的求解拟采用逆解法。由于所研究结构以及结构所受力关于z轴对称的特点,因此所构造应力函数只与坐标r和z有关。另外考虑到该问题的边界条件的特点,在经过一定试算的基础上构造如下应力函数

　　3　问题的解析解

　　由(7)式及边界条件(2)式～(4)式可得以下方程组

　　求解此方程组(8)式可得

　　4　当l→∞时的极限

　　当l→∞时,由(9)式可得

　　此式即为著名的Lame公式。实际上在各应力分量(10)式中,令p1=p2=0 ,同样可得到Lame公式。

　　5　算　例

　　如图1所示的有限长厚壁筒,已知长为l=10r1,并且r2= 2r1。选择计算z= 3r1截面上的周向应力,表1为本文解析解与不同文献计算结果的比较。

　　6　结　论

　　(1)本文构造了一个新的应力函数,并以此为基础推导出了厚壁圆筒内外壁在线性分布压力作用下的解析解。此解析解严格满足基本方程以及边界条件。

　　(2)在求解中,若令l→∞,可得到著名的Lame公式。在各应力分量(10)式中,令p1=p2=0,也可得到Lame公式。这说明Lame公式是本文推出解析解的特殊情况。