裂缝诱导的多次散射波边界元法模拟

　　当波束遇到障碍时就会发生散射.如果存在多个障碍物时,一个障碍物的散射波会使得其他障碍物进一步产生散射波.应用最广泛的是单次散射或Born近似[1],即忽略多次散射波场(也就是说,总散射波场为各个体散射场之和,入射波引起多个散射波场互不干扰.这个近似被广泛地应用[1]).它仅仅在弱散射或散射体的大小既小于波长又小于散射体间的距离时有效,不适于求解大尺度裂缝如石油储层中的裂缝等问题.很多弹性波场的理论考虑了多次散射[2,3],但除了基本的数值逼近法外,很少对大裂缝或短波长的问题有效.当裂缝规模远小于地震波长时,可以使用等效介质理论描述裂隙介质.若存在较大的裂缝带时,需考虑地震各向异性.而且,在储层特性裂缝带确定以及区域性或全球性的应力方向研究中,地震各向异性的应用已经十分成功[4~6].总之,为了得到高精度结果且不受地震波长影响,数值模拟是惟一的选择[7~10].

　　许多文章利用有限差分法研究各向异性或随机介质中波的传播[11,12].在研究物理性质连续变化的非均匀性地壳中地震波的散射时,这些方法被证明是有效的.但是利用有限差分法很难研究离散非均匀体[10,13,14].为此,本文提出一种间接边界元法并且展示了如何用这种方法计算不同空间变化与分布状态下不连续裂缝上产生的波场.

　　1 基本公式

　　在裂缝散射问题中,全波场通常被写成散射场uS及自由场u0(不存在裂缝时的波场)的叠加:

　　对于裂缝或孔隙的范围S及其边界L(图1),散射波场可以通过互易定理导出.在间接边界元法表达式中,散射波场u^S_i可写成

　　其中Φ是在L上xc点处估算的虚拟场源,它的外向法线矢量为n.Gij(x,xc)为Green张量[15,16].牵引力可表述为

　　其中Tij为Green牵引力张量.如果以下的的两个条件成立:xc点不在任一边界上或角落上(在xc处必须有惟一切面);方程(3)中的面积分应理解为Cauchy主值积分,那么当x从S内部逼近边界L时,ct=0.5;当x从S外部逼近边界L时,系数ct=-0.5.尽管上述基本公式仅对应于单一裂缝,由外部散射场推导的数学式对边界L仍然有效.此时,L可以理解为由N个表面为S₁,S₂,,,S_N,相应边界为L₁,L₂,,,L_N的独包络组成.故完全的多次散射波场为

   (4)

　　为了完成一次散射逼近,我们认为每一个包络都受入射波场的控制而不受其他包络产生的散射场影响.当计算在一个给定面内的一个离散点的边界条件时,我们忽略(4)式中描述不同包络间相互作用的每一项.为了计算包络内部的波场,我们把每一个包络值看作是在其他裂缝间没有相互作用的独立的介质. (2)和(3)式是两个控制任意适定问题解的边界积分方程.因为它们在L上的虚拟源分布中没有物理意义,所以根据离散方程(2)和(3)的边界元法被称为间接边界元法.