基于人工可压缩方法的后台阶绕流数值模拟

　　后台阶绕流是工程中常见的流动现象之一,其流动现象较为复杂.对该现象进行深入的研究,有利于对此类流动现象的更深入的认识.文中采用人工可压缩方法对后台阶绕流进行数值模拟.

　　1　控制方程和数值方法

　　1.1　控制方程

　　在笛卡儿坐标系下,二维不可压非定常粘性流动控制方程的守恒形式如下

　　式中:u′,v′,p′和t′是具有量纲的速度、压力和时间;u∞是来流的速度;L是特征长度;ρ是流体密度;μ是流体的动力粘性系数.

　　1.2　人工可压缩方法

　　不可压缩流场中压力信息瞬间传遍全域,即不可压流中音速为无限大,这是不可压流与可压缩流的本质区别之一.而N-S方程组中有速度对时间偏导数,却无压力对时间偏导数.若采用时间推进法求解,在推进过程中可以直接解出速度u的变化,却无法同时给出与连续方程相容的压力p的变化,因而无法使用现有的较成熟的各种可压缩流的时间推进法.人工可压缩方法可以克服这一困难.

　　人工可压缩方法(也称伪可压缩方法),由Chorin于1967年提出.其思想来源于可压缩流体的状态方程和连续性方程,二维可压缩流动连续性方程为

　　把式(5)写成非定常扰动形式

　　方程(6)可视为状态方程为p=α2ρ的不可压缩流体的连续方程,也称伪压缩方程.式中系数α可解释为人工声速.因为项的加入,使得不可压N-S方程组的类型发生了变化,一般称之为拟压缩性N-S方程组,相当于引入了双曲波特性,这种波以有限波速在流场中传播.ρ在方程中并不出现(可令ρ=1).式(6)相对于式(5)而言,是人为加入的时间导数项这样求解非定常现象将会产生误差.只有当计算采用非定常逼近定常的算法,当t→∞时保证,则式(6)就退化为不可压缩的连续性方程(5),因此该方法在未达到定常状态时,任一瞬时的解无物理意义.

　　1.3　有限体积法

　　文中对由式(6)、式(2)、式(3)组成的方程组采用有限体积方法进行离散,控制体积与网格布置如图1所示.

　　式(8)中时间积分项可以选用控制体中心处的值来代替.则连续性方程对控制体边界离散后可以写为

　　式中未知函数值u,v需要根据差分原理由离散点的函数值求得.同样的方式可以对动量方程进行离散.

　　在数值离散中,对流项的离散采用迎风格式,以避免下游的物理量影响上游的物理量,并消除数值解的振荡.

　　1.4　对流项一阶迎风格式

　　对流项采用有限体积法离散的迎风差分格式可以写为

　　1.5　人工耗散

　　由于采用了人工可压缩方法,以及在离散格式中部分项引入了中心点差分格式,为了抹平以上方法可能导致的数值解非线性振荡,在离散方程的右端显式添加四阶人工耗散.