不连续Reissner矩形板的自由振动

　　1　引　言

　　几何形状和边界条件有突变的平板是工程中常用的一类结构形式,如中央开孔板、阶梯式变刚度板、边界条件不连续板等,分析它们的振动问题是十分重要的,在这一领域已有一些文献研究,如文[1]用三角形广义协调元分析了开孔矩形薄板的自由振动问题,文[2]给出了阶梯式变刚度矩形板振动问题的解析解,文[3]则用导数求积法求解了边界条件不连续薄板的固有频率。以上文献均以Kirchhoff板理论为出发点,但当板厚跨比较大,尤其是存在孔洞时,Kirchhoff理论的缺隐使暴露出来,此时宜用中厚板理论求解,文献[4]曾用物理特征配点法解算了各种边界条件下Mindlin板的自由振动问题,但并未涉及板的不连续问题,文[5]提出了一种分区加权残数方法,并成功地求解了杂形薄板的弯曲问题,在理论和实践上证明了该方法的可行性,但继此之后再无深入的研究。本文用分区样条加权残数法求解不连续Reissner矩形板的自由振动问题。

　　2　基本方程、边界条件和协调条件

　　根据板的具体形状和边界条件,将板划分为若干子域,每个子域具有连续均匀的形状和边界。在任一子域内,根据Reissner板的基本假设,不难得到用广义位移w、φx和φy表示的板的运动微分方程：

　　在该子域的四边,振型函数应满足板的边界条件或协调条件。当该子域的某边为板的边界时,应满足相应的边界条件,现以该子域的x =常数边为例给出板的常用边界条件

　　固定边:W =Φx=Φy=0, (4a)

　　简支边:W = Mx=Φy=0, (4b)

　　自由边:Mx= Qx= Mxy=0. (4c)

　　若该子域的某边不是板的边界,则在该子域与相邻子域的公共边上应满足变形连续条件和平衡条件,如子域Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ的连接如图1所示,在三个子域的连续点j应有

　　WⅠ(xj,yj) = WⅡ(xj,yj) = WⅢ(xj,yj) (5a)

　　ΦxⅠ(xj,yj) =ΦxⅡ(xj,yj) =ΦxⅢ(xj,yj) (5b)

　　ΦyⅠ(xj,yj) =ΦyⅡ(xj,yj) =ΦyⅢ(xj,yj) (5c)

　　QxⅠ(xj,yj)- QxⅡ(xj,yj)+ QxⅢ(xj,yj) =0(5d)

　　QyⅠ(xj,yj)+ QyⅡ(xj,yj)- QyⅢ(xj,yj) =0(5e)

　　MxⅠ(xj,yj)- MxⅡ(xj,yj)+ MxⅢ(xj,yj) =0(5f)

　　MyⅠ(xj,yj)+ MyⅡ(xj,yj)- MyⅢ(xj,yj) =0(5g)

　　MxyⅠ(xj,yj)- MxyⅡ(xj,yj)+ MxyⅢ(xj,yj) =0(5h)

　　至于m和i点的连续性条件可仿此写出,如果某点既是两子域的连接点,又是板的边界,则除了满足协调条件外,还应满足边界条件,如图1中的n点,限于篇幅,此处不再一一写出。

　　3　试函数及特征方程

　　在每个子域内,设三个广义位移试函数以五次B样条函数的基函数来表示

　　W = [α(x)] [β(y)]·{C} (6a)

　　Φx= [p(x)] [q(y)]·{B} (6b)