考虑固结效应的溶质传输研究

　　1 引 言

　　在环境科学、水文地质学及石油工程等领域，溶质随流体在孔隙介质中运动的研究一直受到重视。传统的孔隙介质水动力学采用对流-扩散方程描述溶质在流体中的迁移[1]，在这个过程中，没有考虑孔隙介质的变形。但在一些实际工程与问题中，结构体受到外部的作用，孔隙介质发生变形，从而影响溶质随孔隙介质中流体的运动，如固体垃圾填埋场的垃圾堆填过程中衬砌土层内污染物的迁移; 地表(或海底)沉降过程中, 溶质在地下水中的迁移或化学驱油剂在石油中的运动等, 都属于孔隙介质发生变形时溶质随流体在孔隙介质中运动的问题。

　　在已发表的文献中，Loroy 等人[2](1996 年) 首先将孔隙介质固结与对流-扩散方程结合分析溶质迁移过程，但文中未能正确反映孔隙介质变形对对流-扩散方程中对流项的影响。Smith[3]随后纠正了这一错误并完善了变形体中溶质传输问题的理论，给出了稳态过程的解析解。Petres 与 Smith[4]在文献[3]的基础上，推导了空间坐标系(欧拉描述)与物质坐标系(拉格朗日描述)下的数学表示式，并且，讨论了孔隙介质在不发生变形、小变形与大变形情况下介质的传输问题。但上述研究都限于讨论一维情形下的溶质迁移。本文针对孔隙介质变形对溶质传输的影响，给出了二维情况下考虑孔隙介质变形时的溶质传输方程，并且探讨了该类问题的求解方法。

　　2 二维固结方程

　　在平面应变情况下，假设孔隙介质均匀、各向同性。考虑图 1 所示的单元体(垂直于图示平面方向取单位厚度)内部流体与固体的质量守衡。在固定的笛卡尔坐标系下分别得到如下的表示式：

　　式中 n 为孔隙率;ρf ,ρ s分别为流体与孔隙介质颗粒的密度分别为流体介质在固定坐标系下沿 x 与 y 方向的速度分别为孔隙介质在固定坐标系下沿 x 与 y 方向的速度(上标 f 与 s 分别代表流体相与固体相)。

　　如果进一步假设流体与孔隙介质颗粒是不可压缩的，将式(1)与式(2)相加，可以得到

　　式(4)与孔隙介质的平衡方程构成孔隙介质固结问题的控制方程，通过有限元方法求解固结问题，就可以得到孔隙介质骨架的速度和流体的速度分布。

　　3 考虑孔隙介质变形的溶质传输方程

　　采用与推导二维固结方程相同的参考坐标系，以图 2 所示的单元体为研究对象，溶质在流体相的质量守衡表示式为

　　式中fc ，sc 分别为溶质在流体相与固体相的密度分别为溶质在流体相中参照固定坐标系沿 x与 y 方向的流速分别为溶质在固体相中参照固定坐标系沿 x 与 y 方向的流速;fs 为单位体积内流体中溶质的增长率;ss 为单位体积内溶质从固体相的流失率，一般认为，流体内溶质的增长率等于溶质从固体相的流失率(sf= ss)。下标 f 与 s 的含义与前述相同。