矩形域反平面剪切问题的级数解

0　引　言

在机械、土木、采矿、船舶、航空等工程中,常遇到矩形截面柱体的反平面剪切问题。反平面剪切问 题可归结为求解域上的牛曼(Newmann)问题,该问题与柱体的Saint-Venant扭转问题求截面翘曲位移 相当,于是柱体的反平面剪切问题的解法与扭转问题的解法基本相同[1],只需将柱体扭转问题的边界 条件作一适当改动,便可获得反平面问题的解答,但此方法在确定边界条件时有些困难。本文利用奇异 函数[2]将边界上的载荷展开成傅立叶级数,给出了反平面剪切问题级数解答。

1　反平面剪切问题的级数解

反平面剪切问题的求解可归结为一个拉普拉斯(Laplace)方程的牛曼问题的求解。在反平面剪切 问题中,其位移假设为:

2　边界上作用集中载荷时的解

当上下边界上x = c处作用纵向集中载荷P时,可将其分布集度函数p(x)用Dirac-δ函数表示为:

3　边界上作用分布载荷时的解

3·1　三角形分布载荷

矩形域边界上受纵向载荷如图2所示。此时三角形载荷分布集度可表示为:

3·2　局部均布载荷和线性分布载荷

矩形域上下两边作用局部均布载荷q0和线性分布载荷(最大值为q0)(图3)时,载荷分布集度可表示为:

4　结束语

本文利用奇异函数的傅立叶展开式和式(6)可以方便地求出边界上作用集中载荷和局部线性分布 载荷时反平面剪切问题的位移、剪应力的表达式。在断裂力学中,Ⅲ型裂纹问题可归结为反平面问题的 分析[5],因此这些解答也可以结合其它方法进一步用来求解矩形域的裂纹问题,或供工程实际问题参 考使用。

参考文献:

[1]　汤任基·裂纹柱的扭转理论[M]·上海:上海交通大学出版社,1995·

[2]　王燮山·奇异函数及其在力学中的应用[M]·北京:科学出版社,1993·

[3]　CHEN Y Z WANG Z Y·Anti-plane shear of rectangular region with two cracks[J].Theoretical and Applied Fracture Mechanics.1990(12):225-229·

[4]　廖玉麟·数学物理方程[M]·武汉:华中理工大学出版社,1995·

刘志明,　王钟羡,　苏　虹

(江苏理工大学理学院,江苏镇江212013)