非比例阻尼结构频响函数计算的高精度级数展开法

　　频响函数的计算是结构动力分析、控制、参数识别和故障诊断的重要环节,在工程中有重要的应用〔1~5〕.非比例粘性阻尼结构是普遍存在的工程结构,针对非比例粘性阻尼结构快速精确地计算频响函数,在工程中具有重要意义.模态展开计算方法计算较为简便,但由于计算时截断高阶模态,影响计算精度.文〔6〕针对无阻尼结构频响函数计算的高精度展开法,提高无阻尼结构频响函数的计算精度.比例粘性阻尼结构频响函数的计算,可以通过实模态理论来完成.所以,文〔6〕的方法可以推广到比例粘性阻尼结构.非比例粘性阻尼结构与比例粘性阻结构不同,其运动方程中含有非比例阻尼矩阵;频响函数的计算,要通过阻尼结构的复模态理论完成.本文针对非比例粘性阻尼结构,提出频响函数计算的高精度级数展开法.在计算量增加不大的前提下,可望提高计算精度.

　　1　频响函数高精度级数展开

　　非比例粘性阻尼结构在拉氏域中的运动方程为〔7〕

　　式(1)中M, C, K分别为结构的刚度阵、非比例阻尼阵和质量阵;X(s),F(s),分别为结构的位移向量和载荷向量.假设结构的自由度为N.该结构共有2N阶模态,其中第2i阶模态(i=1,2,…,N)与第(2i-1)阶模态共轭.其传递函数矩阵的复模态表达式为〔7〕

　　其中λi,Ψi分别为满足如下方程和条件的复模态特征值和特征向量.即

　　将s=jω代入到式(2)中,可以得到结构的频响函数为

　　可计算得到2L阶低阶模态.由它们近似计算[0,力豜(0<力?ω2L+1)频域内的频响函数,并得表达式为

　　其误差修正项为

　　将式(7)写为

　　由于0<力?ω2L+1,所以当i≥2L+1,有|jω|<|λi|.将式(3)展开为泰勒级数,有

　　下面导出该级数中各项由低阶模态表达的表达式.方程(1)中的系数矩阵与传递函数矩阵有关系为

　　令s=0,有关系

　　将式(10)依次对s求一阶、二阶、…偏导,有

　　令s=0,有

　　考虑K阵为正定阵K并为半正定阵时,可以通过移位方法转换为正定阵.由式(11)有

　　代入式(13)中的第1个表达式中,有

　　将式(14),(15)代入式(13)的第2个表达式中,有Σ2Ni=1ΨiΨiTλ3i=K-1MK-1-K-1CK-1.同理,依次代入式(13)中其它表达式中,可以得到Σ2Ni=1ΨiΨiTλni(n=4,5,6,…)的类似表达式.由此得到误差修正项(9)级数中各项的表达式方程组为

　　它们由低阶模态和结构矩阵表达.将它们代入到误差修正项(9)中,可以得到满足各级精度要求的误差修正.随着所取修正项的增加,计算精度不断提高.同无阻尼结构的修正方法相类似,其增加的计算量不大,却可以得到高精度的计算结果.为验证所提出的修正方法的精度,本文特给出算例.