矩形板的水弹性振动

    1　引言

当结构与水接触或者浸没在水中时,其固有 频率较其在真空中的固有频率有明显的降低。这 一问题便是所谓的流固耦合问题或者称为结构的 水弹性振动问题。它很难得到精确解,但对于圆 板或矩形板在水中的振动,还是有一些理论的分 析方法,其基本的假定为模态振型不受水的影响。 在这个假定之下,可以得到计算板在水中固有频 率的近似公式:

    β———无量纲的厚度修正系数,

    pw、pa———分别为水和板的密度;

    a———矩形板的宽度或者圆板的半径;

    h———板厚;

    Γ———主要取决于模态振型的无量纲化附加质量因子(NAVMI因子),定义为振动中水的动能与板的动能之比。

本文对文献[1]所提出的近似方法加以改进, 并结合结构有限元法计算固定或简支的矩形板与 水接触时的水弹性问题。其中流体水域的边界条 件考虑了两种情况,即板放在无限大刚性平壁上 的情况,和独立地放在自由表面的情况。

采用Green函数法计算水域的流场。由于最 后的积分方程求不出精确解,因此要将交界面离 散成许多小的面元(它们可以看成是BEM),从而 导出对角的附连水质量矩阵(而不是NAVMI因 子)。最后,用包含板的质量阵、刚度阵以及附连 水质量阵的特征方程来计算板的固有频率(特征 值),并检验前述近似公式的正确性。数值结果表 明,近似公式在头五阶模态下有很好的精度,而本 文方法与Ansys(图谱法)结果符合得很好。

    2　结构的有限元法

根据结构物的受力特点及结构与周围环境的 关系以及结构物的几何和力学特征选择合适的单 元。本文采用了矩形单元的薄壳单元,线弹性阶 段的薄壳问题的求解,可简单地将薄膜应力与弯 曲应力叠加进行,其中并不考虑其耦合性。推导 的具体过程见文献[4]。

    2.1　结构振动分析的有限元法

特征值和特征向量的求解是求解结构动力问 题中不可缺少的部分,目前应用比较广泛的特征 值求解方法有行列式搜索法、子空间迭代法和 Lanczos法,考虑到本文最后得到的附加质量矩阵 为对称矩阵,选取改进的子空间迭代法[3]。

    3　附连水质量

对于和水接触的板的振动问题,流场的计算 可采用Green函数法,即在自由液面的空气-水 接触面,以及固体-水的接触面上分布未知的源 强σ(Q,t),这个方法相当于BEM。水中某点P 处的速度势为:

这里G*(P,Q)的引入是为了补偿由底部和 自由液面边界条件等所引起的速度势。由于本文 中只考虑无限水深的情况,所以G*=0。对于平 面问题有 G(P,Q)/ n =0,未知的源强σ(P,t) 可以由交界面上各点的法向速度v给定,即