超静定梁弯曲问题的计算机数值算法

　　在静定梁弯曲内力和变形的计算机数值计算的基础上^〔1〕,我们进一步完成了超静定梁弯曲内力和变形的计算软件.对于超静定梁,载荷的处理、内力和变形计算的基本方法大致与静定梁相同.本文仅就3种基本超静定梁(固定—简支梁、固定—固定梁、连续梁)内力和变形算法中的思路和主要步骤进行研究.

　　1　固定—简支梁、固定—固定梁内力与变形的算法

　　在材料力学中,对于这两种超静定梁,选取赘余力和基本结构的方法比较灵活.但根据所选基本结构在用计算机计算内力和变形时的难易程度,我们自然应该选取左端固定的悬臂梁作为这两种超静定梁的基本结构.这样,梁的右端点就应定为梁轴x轴的坐标原点和等分起点.

　　这两种超静定梁的赘余力计算公式可以用力法导出.设f〔0〕和e〔0〕是作为基本结构的悬臂梁在承受各种载荷时自由端的挠度和转角,作用在基本结构上与载荷规定正向相同的单位赘余力v₁、m₁所引起的自由端的挠度和转角(即柔度)分别为

　　对于固定—固定梁,变形协调条件为右端固定端挠度与转角均为零,即

　　故计算这两种超静定梁内力和变形的步骤是:首先调用计算悬臂梁在各种实际载荷作用下内力和变形的函数,求出f〔0〕,e〔0〕;再根据变形协调条件分别求出赘余力v和m;最后将求出的赘余力视作外载荷并计入外载荷数组,再次调用计算悬臂梁内力和变形的函数,最终求出这两种超静定梁的内力和变形.

　　2　连续梁内力和变形的算法

　　对于以n+1个铰支座支承的n跨连续梁,我们采用传统的三弯矩方程来求其内力^〔1〕.当梁的两端点除外的中间所有支承处的弯矩从结构中放松后,其放松结构就由一系列简支梁所组成.对于每一根这样的简支梁,均以其左端点为梁轴x轴的原点和等分点的起点;每根简支梁均N等分;每根简支梁的外载荷均用二维数组中的元素输入(二维数组第一维用来标记各跨标号).计算连续梁内力和变形的步骤是:

　　(1)调用求简支梁内力的函数,计算每一根简支梁在所承受的载荷作用下各节点横载面上的弯矩.

　　(2)调用求简支梁的弯矩图对梁左、右端点面矩的函数,计算每一根简支梁弯矩图对左、右端点的面矩.弯矩图面矩的计算采用数值积分的方法.对左、右端点面矩计算公式是

　　用主元素消去法解出各支承处梁内的赘余弯矩数组{M_I}.

　　(4)将解出的各支承处梁内的赘余弯矩视作外载荷并计入有关简支梁的载荷项,再次调用计算简支梁内力和变形的函数,计算出每根简支梁的内力和变形,从而得到连续梁内力和变形的完整分析.