基于量子力学的STM系统数学模型的研究

    1　探讨建立STM系统图像的轮廓测量模型的必要性

    扫描隧道显微镜是一种基于量子力学的高分辨力的测量仪器,它不仅具有一般的测量仪器无法达到的高分辨力,而且可以在三维空间上同时实现高分辨力的测量。从而可以测量任意截面的尺寸。基于这些优点, STM已被广泛应用于纳米计量领域中,但是,上面的测量是在高分辨力低精度下实现的。为了进一步提高STM的精度,使它达到零点几纳米,有必要建立STM的 轮廓测量模型。对于轮廓测量来说,我们只考虑样品与针尖表面几何因素的作用就可以了,而不必从样品及探针表面的物理状态出发,这是因为在原子量级上,样品 与探针原子处于不稳定的状态,其运动表现为几率波,对其轮廓测量意义不大,而且物体表面物理状态的影响体现为平均效应,对轮廓测量影响不大。基于以上原 因,本文在隧道效应的基础上建立了适用于平坦样品表面的STM轮廓测量数学模型,并运用MATLAB进行了数学仿真验证。

    2　建立平坦表面的STM的轮廓测量数学模型

    所谓的平坦是指: (1)样品表面起伏不大,探针作用点位置不变或变动较小可以忽略; (2)探针可以到达样品表面的任意被测点。STM的轮廓测量一般采用恒电流方式。在该方式下, STM通过反馈回路调节探针与样品之间的隧道距离,从而保持二者之间的隧道电流为恒定。此时,探针的纵向位置变化反映了样品表面的轮廓变化。

    3　数学仿真

    为了验证上述数学模型,运用MATLAB进行如下数学仿真计算。STM的探针多采用电化学腐蚀法进行加工,根据大量文献^[1],用该方法加工出的探针尖端形状近似为抛物线形状,故采用抛物线函数模拟探针表面轮廓函数t(Δx),即

其中,R₁为针尖的曲率半径,不同的R_t值代表不同曲率半径的针类。

式中,A为正弦函数振幅;λ为正弦函数的波长。之所以采用正弦函数表示样品表面是基于以下 两个原因:首先,采用这种表示方法,可以通过改变A和λ两个参数而获得起伏不同的各种表面,从而可以针对不同样品表面情况进行仿真计算;其次,根据傅里叶 变换,任何连续函数都可以表示为正弦函数的线性组合,因此,正弦函数表面具有一定代表性。根据式(6)无法直接进行仿真计算,故仿真之前进行如下处理:首 先对式(6)进行傅里叶变换,然后再进行傅里叶反变换,并根据卷积定理得:

     根据上式即可进行仿真验证,图2为针尖曲率半径R_t=10nm,样品表面分别为图2两种情况,在x不同的取值范围内根式(9)得到的仿真结果。可以看出当样品表面较平坦时,仿真得到的结果较好的反映了样品表面的实际轮廓。