圆度误差最小区域法数学模型的建立及其测量方法

    圆度误差就是在垂直于回转体轴线截面上的轮廓对其理想圆的变动量.为了获得被测件的圆度误差值一般要经过测量和评定两步.圆度误差值是根据从一特定圆心算起,以包容记录图形两同心圆的最大和最小半径差来确定.在圆度误差的测量中,对误差的评定是重要的一环.目前国标中规定有4种评定方法,其中最小区域法为推荐使用的方法,它不仅可以获得最小的误差评定结果,而且具有唯一性,对零件的性质有稳定的约束(通过包边界),因而是现代测量技术致力研究的评定方法.本文介绍了圆度误差的检测原理、圆度误差最小区域法(MAM)数学模型的建立以及它的常用测量方法.

    1 圆度误差的检测原理[1~3]

    此系统的工作原理是建立在圆度仪的基础上.圆度仪利用其精密主轴在径向安装的位移传感器与被测零件产生相对旋转运动,旋转时与正确的圆形相比,产生径向的尺寸变动量,从而测量出圆度误差.它要求被测实际要素(径向尺寸)对其理想要素(理想圆)的最大变动量为最小.一般圆度测量总是把这些径向尺寸变动量放大并叠加在一个名义半径Rc(该半径与零件的实际尺寸无关)上(见图1).这里显然存在/半径抑制0的概念,即把零件记录轮廓图上的半径缩小到一个便利的名义尺寸上,一般取50 mm.

    如图1所示,H为任一矢径与极轴的夹角,Q0为零件的偏心距矢量,U为零件偏心距的极角,R为零件半径,ΔR为测量的位移,Rc为名义半径,M为仪器放大倍数,MΔR为记录的位移.在零件坐标中,零件的理想圆半径为R0,偏心距为Q0,矢径端点以极坐标(Q0,U)表示.该偏心圆的极坐标方程为

    零件坐标向记录纸坐标变换时,误差轮廓对圆点o的角度不变化,径向尺寸变动量放大M倍,则相应的图形方程为

    按无穷级数展开上式中的项,整理后得

    从上式中可以看出,理想圆零件由于安装时存在偏心距,因此图形发生畸变.当R0一定时,偏心距越来越大,畸变也越大.而仪器对这种畸变是不能补偿的,所以要限制零件安装的偏心距Q0.在上式中略去高次项,整理后式(2)变为

    上式为蜗线方程,它比理想圆更接近式(1),a、b是直角坐标系中偏心距在x和y轴上的投影.

    2 圆度误差最小区域法(MAM)数学模型[4,5]

    图2为被测零件的轮廓形状.oc为测量中心,Pi为第i个采样点.最小二乘圆的圆心o的坐标为(a,b),R为最小二乘圆的半径, ri为Pi点的半径,e为偏心距,U为偏心起始角,Hi为Pi点与起始点P1的夹角.在ΔocoPi中,经过计算可以得到