三维空间圆度误差高精度评定算法与编程

    高精三坐标测量仪的广泛应用，给精密检测领域打开一片新天地。设备的测量功能与测量质量提升了，检测的要求也提高了，原先停留在二维空间层面的误差评定，如二维平面圆度的评定，已经无法适应现实检测的需要，因而必须解决好基于三坐标测量的圆度误差评定的技术难题。

    1 三维空间圆度误差

    基于国标《GB/T 1958 － 2004》［1］中关于圆度误差的概念与评定准则，三维空间圆度误差评定必须分为二个环节: 基准平面的拟合与基准平面上的圆度误差计算。符合“最小条件”原则的基准平面拟合方法可能很多，但国标规定以符合“最小包容区域法”要求计算平面度误差的方法，是终极仲裁方法。当确定基准平面这一环节完成之后，下一环节的任务，就是对投影到基准平面的点集进行圆度误差计算。

    在国标［1］中，评定圆度有四种方法: 最小包容区域法、最小二乘法、最小外接圆法和最大内接圆法，规定最小包容区域法为终极仲裁方法。最小包容区域法是指包容圆轮廓线的二个同心圆，二圆半径之差为最小时，其差值即为该圆轮廓的圆度误差值，如图 1 所示，δ0值即圆度误差，亦即原三维空间圆度误差之值。

    业界对于如何求得三维空间圆度误差做了很多研究，如 “拟合方法”［2］、“实数编码的遗传算法”［3］等，更多的人用最普通“最小二乘法”［4，5］，但这些方法都或多或少存在二个问题: 算法收敛慢、计算结果精度低，因此导致这些算法不好用、不够用，所以有必要寻求更高精度的算法程序以适应实际要求。

    本文先讨论解决平面圆度误差的“最小包容区域法”，为空间圆度高精度评定作技术铺垫，然后对具体的三维空间圆度评定进行分析讨论。

    2 平面圆度高精算法

    设 Q = { Qi( xi，yi) ; i = 1 ～ n} 为依照检测要求获得圆形外轮廓上测量点集，求圆度误差问题即为寻求包容测量点 Q = { Qi，i = 1 ～ n} 且半径之差达到最小的二个同心圆，这是即要找一个点O0( 同心圆的圆心) ，在“包容”的前提下，使点集 Q至 O0点距离的最大者与最小者之差，达到最小。

    设 O0为初始同心圆圆心，点集 Q 距 O0的最近点为 Qmin，最远点为 Qmax，两同心圆的半径分别为r内= O0Qmin，r外= O0Qmax，δ0= r外－ r内，即最小二乘意义下的圆度误差值，如图 2 所示。

    要使 δ0向“最小”逼近，借助    特殊三角形与 O0、O 关系图要使 δ0向“最小”逼近，借助特殊三角形△O0QmaxQmin，对 O0的“移动方向”与“移动步长”展开探讨: