基于逐次逼近的垂直度误差评定软件

    1 垂直度误差

    根据GB/T 1958-2004《产品几何量技术规范(GPS)形状和位置公差检测规定》(以下简称规定)规定,垂直度误差属于位置公差中的定向误差范畴,指实际被测直线相对于给定基准平面在垂直方向上的变动量。直观地说,就是求取一个垂直于基准平面的小圆柱,该小圆柱包容被测直线上的检测点,如果小圆柱的直径达到最小,则其直径就是这条实测直线对于基准平面的垂直度误差值。

    在精密检测行业中,三维空间直线相对于基准平面的垂直度问题是计算位置度误差的典型问题。垂直度误差问题的解决,对于其他位置度误差计算具有基础性意义。在精密测量与评定的实践中,往往是通过三坐标测量机检测获得空间某直线上一系列测量点位置坐标,然后采用满足最小区域判定原则的计算方法,求取这些离散点与基准平面间的垂直度误差。

    从《规定》中空间直线对于基准平面的垂直度误差概念的描述可知,如果把直线上各样本点投影到基准平面,此时求取垂直度误差,其实际就是求基准平面各投影点的最小外包圆(或称外接圆),如此,空间的问题就转化为二维平面的问题。亦即对于被测的三维空间“直线”,用三坐标测量机测得一系列点Pk(xk,yk,zk)(k=1～n),则这条姑且称之为“直线”的轮廓线,就以点集Pk(k=1～n)来描述,那么评定“直线”与给定基准平面P0(设方程为:a0x+b0y+c0z+d=0)的垂直度误差f,就转化为评定Pk(k=1～n)相对于P0的垂直度误差。文献[1]规定,用“最小区域法”求出的垂直度误差值,满足“最小条件”原则,计算结果最佳。而对于如何求得符合“最小条件”的垂直度误差,众人见仁见智,推出了各自的算法,但遗憾的是计算结果的精度均差强人意,并不能满足高精度要求。

    笔者经过观察分析,提出了新的算法,其计算过程与结果具有真正的“最小区域”意义,满足“最小条件”的原则。

    2　新算法

    设从被测直线上测量得到的样本点为Pk(xk,yk,zk)(k=1～n),基准平面P0方程为:a0x+b0y+c0z+d=0,Ty=(a0,b0,c0)为P0的法向矢量,Pk′(xk′,yk′,zk′)(k=1～n)为Pk(k=1～n)在P0上的投影,包容Pk(k=1～n)的小圆柱在平面P0上的投影是一个小圆C。显然,如果小圆柱包容了Pk(xk,yk,zk)(k=1～n),则Pk′(k=1～n)必然全部落在小圆C之内。

　　设圆C的圆心坐标为Pq(xq,yq,zq),小包容柱的中心线方程即为l1:为圆柱的半径,2×D即Pk(k=1～n)对于平面P0的空间垂直度误差值f,它是符合文献[1]关于“最小区域”条件下垂直度误差定义的。显然,求Pk(k=1～n)相对于平面P0的垂直度误差的三维空间问题,可以转化成为二维平面的问题,即求包容Pk′(k=1～n)的小圆C的最小直径,如图1所示。