用对称法测量沟曲率及其误差分析

　　沟曲率的测量方法诸多,最常用的仪器有三坐标测长仪、200型比长仪、万能测长仪、沟曲率仪、投影仪和Form轮廓仪等。一般用最小二乘法和三点法计算半径。但是沟曲率仪测量范围有限;用投影仪测量误差很大;Form轮廓仪价格昂贵,行业上寥寥无几;而用建立坐标系三点法测量沟曲率计算比较复杂。下面介绍一种沟曲率的简易测量及计算法,并对其测量误差进行分析。本方法适用于各种凸凹面沟曲率(包括中心位置)的测量。

　　1　坐标系的建立和计算

　　在比长仪(或测长仪)和三坐标测量机上都可以用三点法测量沟曲率,调整测头或被测件找转折点,使测头位于最大圆弧截面上,在圆弧上采得均布三点的坐标值并代入经过三点的圆方程(x-a)²+(y-b)²=R2,圆心位置为(a,b)。求解三元联立方程组,得曲率中心(a,b)和半径R。当然借助于计算机可以解方程,用最小二乘法计算多点圆更精确;如果不用计算机,求解圆方程显然比较繁琐。若坐标的建立如图1所示,那么计算将十分简便。

　　测头在X方向找到圆弧转折点x0,在靠近圆弧一端采得A(x1,y1)点,测头接近圆弧另一端找到x2=x1处,读取y2,为采得的B(x2,y2)点,确定y1和y2的中心y0,即y0=(y1+y2)/2,以(x0,y0)建立坐标原点,则A点和B点相对于X轴对称,这就是所谓用对称法建立的坐标系。

　　x0=0,y0=0这样y2=-y1,x1、y1计算成相对于原点的值,则原三元联立方程化简为

　　2　误差分析

　　因为三点几何圆的计算是纯理论的,所以误差来自采点的准确度。A、O和C三点可以形容为以各自真值为中心,测量不确定度U为半径的一个小圆。测量不确定度的主要来源有仪器的不确定度和测头半径的大小及圆度误差。选择测头时,测头圆度小于0.1Lm可视为理想圆,测头半径相对于被测半径愈小愈好,以至忽略测头的影响。所用仪器的不确定度用3R表示,测量中所采得的点,以0.9973的置信概率落在这个小圆之中,采点位置的不确定度决定了计算出来的三点圆如图2中A1O1B1、A2O2B2弧段两种极端情况。

　　由图2可见A1O1B1圆弧所得的计算沟曲率为极小,反之A2O2B2所计算的半径为极大。这个极大与极小之间的范围,就是曲率中心和半径测量值的±3R范围,先分析A1O1B1,图中AA1=U,AC=R,∠ACB=H,A1O1B1圆弧采得三点坐标为

　　设圆心位置为(a1,b1),因为A1和B1相对X轴对称,所以b1=0,将坐标值代入圆方程

　　再分析图2中A2O2B2圆弧,测得三点坐标为

　　A2O2B2圆弧分析的结果与Δ大小相同而符号相反,这两种情况是一个正负对称的误差分布,极大圆和极小圆以及用最小二乘法计算的多点圆,均在上述分布范围之内。