面对面垂直度误差的数据处理

    面对面垂直度误差检测是机械加工测量中经常遇到的问题。传统的测量方法( 如直角尺看光隙、直角尺配塞尺、简易打表法等) 由于不符合面对面垂直度误差的定义，存在着原理误差，因而不能准确地得到面对面垂直度误差值，只能用于检验位置精度要求较低的工件，且调整、测量效率低; 而三坐标测量机成本高，不适合车间现场检测。

    因此，本文采用万能工具显微镜对被测工件进行坐标测量，建立基准符合最小条件法、最小二乘法、三远点法和对角线法的面对面垂直度误差评定的数学模型，利用数学软件 MATLAB 进行快速有效的计算处理，获得准确的面对面垂直度误差值及误差示意图，求解数据的可视化效果大大强于三坐标机的图示化效果。最后通过测量示例证明本文提出的方法具有较高的评定精度和较好的实用性。

    1 数学模型

    GB / T 1958—2004 规定: 定向最小区域是指按拟合要素的方向包容被测提取要素时，具有最小宽度 f或直径Φf 的包容区域［1］。因此，在评定面对面垂直度误差时，首先要确定基准拟合要素的方向，即对基准提取要素的平面度误差进行评定。然后垂直于基准拟合要素的方向，寻找包容被测提取要素时，具有最小宽度的定向最小包容区域。

    1． 1 基准平面的建立

    建立基准平面，即对基准提取要素进行平面度误差的评定。常用的有最小区域法、最小二乘法、三远点法和对角线法。其中最小包容区域法是国家标准规定的方法，采用最小包容区域法评定时产生的误差最小，精确度最高。

    1． 1． 1 最小区域法

    根据参考文献［1］规定，按最小区域法评定平面度误差实质上是寻找包容基准提取要素且距离最短的两平行平面。如图 1 所示零件并建立坐标系。基准平面的一般方程可简写为: A1x+B1y+C1z = 1，设基准面上任一测量点坐标为 Pi( xi，yi，zi) ( i =1，2，…，n) ，各测点到基准平面的距离为

    最小区域法的目标函数 F( A1，B1，C1i］max－［di］min，满足最小化时，F( A1，B1，C1) 的( A1，B1，C1) 即基准平面的法向量，且该三元函数 F( A1，B1，C1) 的最小值即为平面度误差。因此基准平面的评定就转化为求三元函数 F( A1，B1，C1) 的最小值问题。

    1． 1． 2 最小二乘法

    最小二乘平面是个理想平面，它使从实际被测轮廓上各点到该平面的距离平方和为最小。因此，最小二乘法的目标函数，即各测点到最小二乘基准平面的距离平方和 F( A1，B1，C1) = ∑i = 1d2i，其满足最小化时，即可求得基准平面的法向量，f=［di］max－［di］min即为最小二乘法平面度误差值。