LSM算法评定空间直线度误差的分析与改进

    随着数字化制造与检测技术的发展,机械制造零件的尺寸、形状、位置等的精度要求越来越高;然而,形位误差的评定理论和算法仍不完善,尤其是空间直线度误差,作为一种最复杂的形状误差,其评定算法一直处于探索之中.

    空间直线度误差的评定算法主要有两类.一类是符合ISO或国家标准[1]规定的/最小条件0的精确算法,即/最小包容区域法0.但这类算法的数学模型是非线性和不可微的,对其求解非常困难,因此,国内外许多学者运用各种数学理论、优化方法或算法对此进行了研究,如:基于柱面坐标系的非线性模型[2],凸壳理论[3],改进的遗传算法[4],基于实数编码的遗传算法[5],粒子群算法[6],坐标变换原理[7],半无限线性规划和基于单纯形的算法[8],半有限规划和内点算法[9],平面化投影处理方法[10]等等.虽然以上这些研究的算法各有其有效性,但仍不完善.另一类是在生产实际中常用的近似算法,如:两端点连线算法,最小二乘算法(Least Squares Method,LSM).其中,两端点连线算法不稳定,其评定结果有时较精确,有时却有较大偏差.LSM算法具有一定的精度和鲁棒性,是目前较实用的方法.在坐标测量机CMM(Coordinate Measuring Machine)上的误差评定统中,都是采用LSM算法.但是,LSM算法存在较大的/不确定度0,因此,Zhu[11]、王金星[12]等对LSM算法的/不确定度0计算或LSM算法的改进作一些研究.但是,在现有对LSM算法的研究文献[11-12]中,本文作者认为,对LSM算法的原理缺陷认识还不够,会严重影响到空间直线度误差评定结果的有效性,甚至可能造成被检零件的/误收0或/误废0.

    本文拟深入分析LSM算法及其缺陷,提出评定空间直线度误差的改进LSM算法,给出其数学模型,并用实例验证其效能,以期在评定空间直线度误差中获得较高的精度.

    1 LSM算法及其缺陷分析

    1.1 LSM算法[1,11-12]

如图1所示,在三维直角坐标系O-XYZ中,若有空间直线度误差测点集R = {Pi(xi,yi,zi),i =1,2,,,n},n为测点数目,设其最小二乘中线(即最小二乘拟合直线)为LS,则LS的方程为:

    各测点Pi(xi,yi,zi)到LS的距离di为:

    国家标准[1]规定:在评定任意方向上直线度误差时,为包容实际直线,且轴线的方向与最小二乘中线LS平行(或重合)、并具有最小直径的圆柱面,称为最小二乘中线包容圆柱面.该最小二乘中线包容圆柱面的直径fL就是评定空间直线度的误差值,即:

fL=2min(max(di)). (7)

    1.2 LSM算法的缺陷分析

    根据图2所示的空间直线最小二乘拟合的分析示意图,若图1中的最小二乘拟合直线LS对应于图2中的空间直线LS,则由图2可知,A是LS与XOY平面的交点;令式(1)中z =0,则可求出该交点的坐标A(b1,b2,0).