凸壳理论在圆度误差评定中的应用

    采用凸壳理论进行表面形状误差的评定,就是将寻找影响形状误差评定的特征点的问题转化为求凸壳顶点的问题。根据凸壳原理,凸多边形具有几何不变性,圆心坐标的微小移动不会影响凸多边形的形状特征,因此它既全面反映了轮廓曲线的表面特征,也不会错删有用点信息。

    一、凸壳理论[1,2]

    一个点集S的凸壳就是指包含S的最小凸集(这里主要描述平面凸壳的情况)。直观地说,若S是由平面中的有限点集组成,则想象有一条大的拉紧的橡皮圈围绕着该集合,当取走集合中的点时,橡皮圈固定不动,即呈现凸壳的形状。构造凸壳的问题就是确定点集中哪些点是壳顶点的问题,凸壳的顶点就是该轮廓曲线上的特征点。

    图1所示是一被测轮廓曲线,1~8这8个点是根据凸壳概念得到的凸壳边界,以最小外接圆为例,决定最小外接圆的特征点必在这8个点中,8个点外的其它点对确定最小外接圆不起作用,即使坐标中心O点有了微小移动,但凸多边形的几何形状不会发生改变。同理,最大内切圆可以由另一个凸多边形中的壳顶点1~6来确定,如图2,而确定最小区域圆的两外点、两内点也可分别在这两个凸多边形的顶点中找到。

    1.凸壳顶点的寻找方法

    Graham算法[2]是一种比较简单、典型的平面凸壳算法。

    如图3所示,Pi,Pi+1,Pi+2(i=0,1,2,,,n)等点为一点集,若某一点Pi+1不是凸壳的顶点,则它是在某个三角形(Opipi+2)内部,其中pi和pi+2是相继的壳顶点。

    Graham算法的实质就是围绕这些有序点的一次扫描,在扫描过程中,判断哪些点是凸壳的顶点,哪些点不是凸壳顶点,消去那些非顶点,剩下的是以要求的次序排列的壳顶点。

    扫描从标记是START的点处开始,它可取为给定集合的最右边具有最小纵坐标(正)的点,因此必然是一个壳顶点。

    我们以逆时针次序重复检查相继的三个点来确定它们是否定义了一个优角(即一个P的角)。若内角pipi+1pi+2是优角,则称pipi+1pi+2是一个/右转0,否则,它是一个/左转0。

    在遍历一个凸多边形中,我们仅作左转。

    扫描删点程序流程如图4。

    2.工件半径变化对凸壳顶点的影响

    实测中,按照上述方法对采样点进行实际筛选时,出现了下述问题:

    工作轮廓曲线上各点的半径为R+$ri,而当工件名义半径R取不同的数值时,选取的凸壳点数不同:当R>>$ri时,选出的凸壳顶点数很多,接近原始的采样点数;当名义半径R逐渐减小,得到的壳顶点也逐渐减少;当R减小到零时,即此时工件的半径为$rci时($rci=$ri-$rmin),壳顶点数大大减小(10~20个,或更少)。即采样点中原本不是壳顶点的点随着工件半径的增大可能回变为新的壳顶点,半径越大,变为新壳顶点的点数就越多。