三点法中测头最佳角位置的确定方法

    在三点法[1,2]圆度及轴系运动误差的测量中,三个测头间夹角的选择对测量精度具有重要影响。前人选择测头间夹角时,大都是从三点法的谐波加权函数X(k) = 1 +a2e-jkU2+a3e-jkU3的数学特点出发,选择U2、U3、与2P有较小的最大公约数,从数学上保证三点法能测到较高级次的谐波[3-5]。事实上,确定测头角位置时,仅从数学上考虑方法原理对它的要求,而忽视了实际测量中测头存在读数及角位置误差时测头间夹角对测量精度的影响,是难以得到测头的最佳角位置的,也就无法从根本上保证获得高精度的测量结果。虽有个别文献[6]注意到上述问题,但因未能透彻分析测头读数及定位误差与圆度各次谐波及圆周各点测量误差的关系,所以未能提出好的系统优化方法。

    针对上述问题,本文通过分析测头存在读数及角位置误差时测头间夹角与测量精度之间关系,提出确定测头最佳角位置的目标函数及寻优算法,为进一步提高三点法测量精度奠定基础。

    1　三点法中测头间夹角对测量精度的影响

　　如图1,在工件圆周上布置3个测头Pi(i= 1～3),各测头与y轴的夹角分别为Ui(U1= 0),工件圆度为r(Hn),轴系径向运动误差的x,y向分量为x(Hn)、y(Hn),各测头的输出为Si(Hn),对Si(Hn)作适当的线形组合,消去x(Hn)、y(Hn)及r(Hn)中的一次谐波,得到圆度各次谐波的余弦及正弦系数

    r(Hn)可由Fourier级数求和得到

    其中,Hn为采样点,Hn=nõ2P/N,n= 0,1,…,N- 1,N为采样点数,km为谐波高级次。

    影响测圆精度的主要误差有两上,¹仪器读数误差;º测头角位置误差。设三个测头的方差均为R2,通过误差分析,由读数误差所引入的圆度k次Fourier系数Ak、Bk的测量误差的方差为

    由测头读数误差引入的圆周第P点的圆度测量误差的方差为

    设是表示读数误差对测量精度影响的重要指标。

    误差分析表明:测头角位置误差对圆度测量精度的影响大致也正比于qk。显然,对给定级次的谐波,qk只与三个测头间的夹角有关,它反映了测量系统对测头读数及角位置误差的放大关系。Ui选择不当会使某些谐波的qk很大,从而造成测量结果的严重失真。

    2　确定测头最佳角位置的目标函数

　　确定测头最佳角位置的基本原则是使测头读数及角位置误差对圆周各点或各次谐波测量精度的影响为最小。优化过程为一个多目标函数的优化决策问题。根据前述分析,取qk作为优化的基本目标函数。这是因为qk具有明确的物理意义,它反映了测头读数误差(在一定程序上也表达了测头角位置误差)对给定级次谐波测量精度的影响,使其为最小,可以大大降低测头的读数及角位置误差对圆度测量精度的影响。并且通过计算qk,可以分析测量误差的传播规律,分析给定谐波的测量误差在整个测量误差中所占比重的大小,从而为发现误差来源,克服其影响奠定了基础。因此,根据不同的测量任务要求,可以qk为基本函数构造不同的目标函数。