声波全波计算方法的研究及应用

    1 声波全波数值计算方法

    1.1 实轴积分(离散波数法)

    第一类数值方法是计算接收器所接收到的全波波形和某一种波形(如纵波和斯通利波)。这种方法主要采用实轴积分法和割线积分法(或极点留数计算),用时域波形和频域特性曲线来表示不同地层条件下的全波列曲线。

    考虑裸眼井的理想模型为无限大弹性介质内的一个半径为A的无限长圆孔,即井半径为A,井筒在上、下两个方向上无限延伸;井内流体和井外地层的参数分别以下标1、2区分;令介质密度为Q,纵波速度为vP,横波速度为vS,流体速度v1;并假设井内流体和固体都是理想的弹性介质,建立柱坐标系(rHz),z轴与井轴重合,声源位于坐标系远点。

    考虑到泥浆中有入射波和反射波,地层中只有折射纵波和折射横波。且入射波在井轴处幅度大,远离井轴幅度逐渐减小;反射波在井壁处幅度最大,向井内传播幅度逐渐减小;折射波在井壁处幅度最大,向地层传播幅度逐渐减小。

    用分离变量法求解,得

    式中,I0)第一类零阶虚宗量贝塞尔函数;K0)第二类零阶虚宗量贝塞尔函数;K1)第二类一阶虚宗量贝塞尔函数。

    利用边界条件:

    解得:

    将A(k)和Q代入51,得井内任意点处的声压

    1.2 有限差分法

    传统的解析方法如离散波数法适用于介质轴对称柱状分层且声源居中情况。对含水平、倾斜分层的介质或测井声系偏离井轴情况下的测井问题则需半解析或纯数值方法进行研究。有限差分法作为一种经典的数值方法,能够对场域的几何形状不规则的问题给出全波列的解,在声波测井中得到广泛的应用。

    文献[3]提出了一种声压-速度有限差分的方法,用速度矢量描述弹性固体介质。这样选择变量给整个差分计算带来许多优点。用声压描述井内流体避免了用混合法处理奇异点源的复杂性,使声源处理简捷,内边界连接条件差分格式稳定,减少了计算量,避免不必要计算带来的误差。

    考虑各向同性脉冲点源位于半径为a的无限长圆柱形井孔中心。选柱坐标系使坐标原点与声源初重合,z轴与充流体井轴一致。设井内为均匀各向同性流体,Qf和Vf分别为流体密度和声速。井外为均匀或分层均匀的流体介质(对应L=0)或各向同性弹性固体介质,其密度和纵、横波速度分别为Q、vP和vS(对于流体vS=0)。

    此时,井内外流体介质声压满足方程

    井壁上的内边界连接条件为

    式中,Qf和Vf分别为流体密度和声速,D(r)是Kronecker Delta函数,g(t)是声源时域脉冲函数,a是井壁半径,d、H分别是差分计算中在r、z方向引入的人为边界的径向和轴向位置,在进行数值计算时加入一定的条件。