主成分分析法在振动噪声源分析中的应用

   在噪声控制中,声源诊断是一项极为重要的工作,其目的在于从声源系统中,通过采用科学合理的手段找出声源的部位、能量分布及频率特性等。在实际声源的诊断中,由于各声源的频率结构往往十分复杂,而且各源之间的干扰以及声波的传递通道千差万别使得这一工作极其复杂。因此,能否从多个声源信号中构造出很少的几个不相关的综合量,而且这些综合量可以反映出原信号较多的信息,成为人们所关心的问题。主成分分析法就是利用降维的思想,把原来多个变量转化为少数几个互不相关的主成分的一种统计方法。本研究采用以最小均方误差为准则,将原特征向量经过维数压缩后进行数据分析的主成分分析法,并结合电机表面振动信号的功率谱分析来完成对100CLG-30船用立式单级离心泵的振动噪声源的分析。

    1 主成分分析法的基本原理

    主成分分析法是利用降维的思想,把原来多个变量转化为少数几个互不相关的主成分的一种统计方法,最终达到数据化简、揭示变量间的关系和进行数据解释的目的。

    1. 1 主成分的求法

    设在n个测点测得的振动信号为:

X= (x1,x2,,,xn)T,n2, E(X) =L, D(X) =V

    现在寻求一组新的变量,基本思路是:找出X各分量的一个线性组合y1,为使y1尽可能多地反映X的变化信息,就要使y1具有最大的方差。继而找出X各分量的第二线性组合y2,为使y2在与y1不相关的条件下具有最大的方差,如此继续下去,直至X的信息基本提取完毕为止。这些新的变量y1,y2等就称为X的主成分。

    设a=(a1,a2,,,an)T是n维常向量,则可得第一主成分y1

    y1=aT=a1x1+a2x2+,+anxn(1)

    D(y1)=D(aTX)=aTD(X)a=aTVa,可以看出增加a可以使得D(y1)变大,因此,需要对a加以限制。可令a满足aTa=1,于是问题转化为求解下式

    对于这一条件极值问题,利用拉格朗日定理,令

    可得: (V-KI)a=0,这一方程有非零解的充要条件是

|V-KI|=0

    因此,可以看出要使aTVa最大即要K最大。由于K为V的特征根,故K应取V的最大特征根K1,再由式(4)可知a应取为相应于K1的单位化特征向量F1,因此F1即是式(2)的解,从而得

y1=FT1X

    把y1称为X的第一主成分。

    若y1还不能充分反映X,重复上述过程可以求得X的其他组主成分变量y1,y2,,,yp(其中K相应取V的特征根K1,K2,,,Kp,且K1>K2>Kp)。

    一般来说,由于随机向量X的主成分是由x的分量的特殊线性组合得到的,所以,当各个变量的量纲不同时,则这种线性组合的物理意义就很难给出解释。因此,如果存在各个变量间的量纲或数量级不一致的情况,首先需要对随机变量X作标准化处理,即作如下变换