空间直线度最小二乘评定结果的不确定度估计

　　1 引言

　　ISO国际测量不确定度表示指南(简称GUM)[1]对测量结果不确定度的表示提供了一个通用方法,但在空间直线度测量中,由于评定模型的非线性和不可微,难以估计最小二乘评定结果不确定度,实际测量中常只给出测量结果,而不给出其不确定度。为解决该问题,本文推导了不确定度估计公式,并与蒙特卡罗法进行了比较。

　　2 空间直线度最小二乘评定分析

　　最小二乘评定模型是空间直线度误差评定模型之一[2]。如图1所示,假定空间直线Lls上有N个采样点,xi、yi、zi是采样点的坐标。空间直线最小二乘平均直线方程如下[2]:

　　各采样点对直线Lls的偏差为

　　空间直线度公差是一个圆柱包容区域。当空间直线度用最小二乘方法评定时,直线度误差fLS是轴线与最小二乘中线方向一致的最小包容圆柱的直径,但由上述公式确定的最小二乘中线包容采样点的圆柱不一定具有最小直径,故公式中b1、b2必须通过优化方法调整,使得最大的Δi为最小。空间直线度最小二乘评定模型可表示为

　　这个优化模型的优化算法很多,任选一种方法后确定合适的收敛条件,就可得到优化结果b1、b2。由于公式(3)一般不可微,必须通过迭代搜索算法计算;为了应用GUM建议的不确定度传递方法估计结果的不确定度,公式(3)应作适当的处理。

　　3 空间直线度最小二乘评定结果的不确定度估计

　　为简化问题,假设确定的收敛条件取值足够小,以使在优化计算中对不确定度计算结果的影响可忽略。将b1+Δb1、b2+Δb2代入公式(3),Δb1、$b2的初始值为零,即

　　迭代计算得Δb1、Δb2的优化值,并可搜索到最大值点M(xM,yM,zM),则空间直线度误差为

　　为了应用GUM建议的不确定度传递方法估计不确定度,必须确定解析模型,并得到公式(5)每一个分量的不确定度,由于Δb1、Δb2通过不可微的优化算法得到,故估计其不确定度是估计最后测量结果fLS不确定度的关键。其实在确定了最小二乘参数b1和b2后,b1、b2的变化量Δb1、Δb2很小,收敛条件取值足够小,由此引起的不确定度可忽略。且Z坐标轴的方向坐标值对测量结果的影响也很小,可将其视为常量,令ε1=xM-b1-Δb1-k1zM,ε2=yM-b2-Δb2-k2zM,则

　　u0是任意单个测量点的不确定度,b1和k1的不确定度可通过公式(2)、(4)由GUM建议的不确定度传递公式求得。它们都是单点测量值的线性函数,b1和k1间的协方差值也可用多变量最小二乘理论提供的方法计算,而xM与b1或k1之间的协方差可忽略。同理,有