平面度误差最小区域评定结果不确定度估计

　　机床工作台的加工、检验,机床工艺系统误差分析等常常需要进行平面度误差测量,中国国家标准《平面度误差测量》[1]中要求测量结果的表示应当应用不确定度,但是并没有给出不确定度估计的具体方法。根据《国际测量不确定度指南》[2](以下简称GUM)提出的测量结果表示的一般要求,以及不确定度估计的统一的准则,本文在对平面度误差最小区域评定进行研究的基础上,推导了平面度误差最小区域评定结果不确定度计算公式。分别用该公式与蒙特卡罗方法对同样的实际测量数据进行了平面度误差计算并对计算结果进行不确定度估计。

　　1 平面度误差最小区域评定结果的不确定度

　　平面度误差评定中,如果被测平面上各采样点的坐标已知,则被测面的理想平面就可以确定,这样即可以计算出平面度误差,计算方法如下[3]。

　　如图1所示,设XOY是测量参考平面,A是被测量平面上的一点,ΔM是A点与XOY平面间的距离,f是A点与理想平面间的距离,a是A点在理想平面上的对应点。于是有

　　如果求出理想平面上a点的坐标za,则可按上式求得f。

　　被测平面的理想平面可以由下式表示:

　　用最小区域法评定平面度误差时,当理想平面是由符合三角形准则的三个极点决定,设这三个点的坐标分别为M1(x1,y1, z1),M2(x2, y2, z2),M3(x3,y3,z3),则理想平面的方程可以表示为:

　　当理想平面是由符合交叉准则的四个极点决定时,设这四点坐标为M1(x1,y1,z1),M2(x2,y2,z2),M3(x3,y3,z3),M4(x4,y4, z4),如果理想平面是过直线M1M2,并平行于直线M3M4,则理想平面的方程为:

　　如果理想平面是过直线M3M4,并平行于直线M1M2,则理想平面的方程为:

　　将行列式(2)展开,理想平面的方程改写为:

　　设决定平面度误差的另一极点的坐标为M4(x4,y4,z4),则理想平面上对应点在Z方向上的坐标为:

　　由于一般说来平面度误差测量时在x、y方向上的坐标值都很大,且在测量的非敏感方向,其测量误差对计算结果的影响很小,因此可以作为常量处理,于是将上式简化。令P=x2-x1,q=x3-x1,u=y2-y1,w=y3-y1,由公式(1),得平面度误差为:

　　上式为一线性函数,若各测量点测量时相互独立,则可以用一般的不确定度传递公式求得平面度误差测量结果的不确定度。再令r=x1-x4, t=y1-y4,v=pw-qu。M1、M2、M3、M4的测量点直接测量结果的不确定度为u1、u2、u3、u4于是整理得平面度误差测量结果的不确定度计算公式为:

　　若这四个点的坐标值是用简接测量测量法得到的,如用水平仪法、表桥法、跨步距法等间接测量后经换算得到时,则存在相关关系。于是误差传递公式必须计入这四点的协方差,四点间测量数据的协方差计算可以用多变量最小二乘法计算。于是有: