空间直线度包容评定的线性逼近算法

　　1 引言

　　在ISO-1101E中,空间直线度定义为/包容被测轮廓且直径为最小的圆柱体0.理论上以空间最小直径圆柱去包容被测空间直线,可以用圆柱度包容评定算法实现空间直线度的评定[1].但是由于包容空间直线的圆柱直径与该圆柱描述变量在数值单位上均属于微米级,以常用的圆柱度线性评定模型和算法实现空间直线度评定将会引起较大的模型误差[2],若直接求解非线性评定模型则计算精度将成为影响评定精度的关键.因此,寻求有效地实现空间直线度评定计算是亟待解决的难题.

　　本文按照空间直线度包容评定的定义建立非线性评定模型,应用数学规划理论,以线性评定模型的迭代运算,结合空间坐标系变换去逼近非线性空间直线度评定模型的最优解.实践证明该算法计算简便,精度高,是计算机评定的理想算法.

　　2 模型与算法

　　设在测量坐标系XYZ中,被评定空间直线的测点集合为S=si(xi,yi,zi)i=1,2,,N et或S=si(zi,ρi,Hi)i=1,2,,Nhe,见图1.包容被测直线的空间圆柱的轴线为o'o'',该轴线的方程为

　　其中,p,q为o'o''与XOY平面的交点;a,b为o'o''在XOZ平面和YOZ平面的投影与Z轴夹角的正切值.测点si(xi,yi,zi)到轴线o'o''的距离为

　　其中,为描述变量,表达了包容被测空间直线的圆柱在测量坐标系XYZ下的位置和方向.按最小包容原则评定空间直线度,数学上可用距离函数ri(u,si)极大极小化模型表达,其数学规划模型为:

　　其中,R为包容圆柱的半径.

　　由于距离函数ri(u,si)是关于描述变量u的非线性函数,式(3)表达的是五维非线性空间直线度评定的精确模型,可以用非线性规划问题的优化算法如罚函数法或复形法求解[3].但由于在此评定模型中,测点的个数决定了约束条件的个数,当测点较多时求解较为困难,并且求解精度也受到诸多因素的影响.

　　当描述变量u={p,q,a,b｝^T与被测空间直线的直线度f=2R相比是微小量时,可以将距离函数ri(u,si)线性化.线性化的距离函数r'i(u,si)往往是ri(u,si)在u={0,0,0,0｝^T处的一阶泰勒展开式

　　其中,为测点的极径和极角.如果用线性距离函数r'i(u,si)取代非线性距离函数ri(u,si)代入式(3),构造线性评定模型,则求解空间直线度评定问题转化为求解线性规划问题,利用线性规划的经典算法单纯形法[3],可以方便地求得该线性评定模型的优化解.

　　但是,仅以线性距离函数r'i(u,si)所构造的线性规划评定模型的最优解作为空间直线度评定的最终结果是不精确的.因为r'i(u,si)与ri(u,si)之间存在着二次误差[2]