基于新一代GPS轴线对平面的垂直度误差的评定

　　垂直度是衡量零部件位置精度的重要指标之一，完工零件的垂直度误差对产品质量和性能有很大的影响。目前，垂直度的测量方法主要有传统测量方法、基于传感器的测量方法等，这些方法运用第一代GPS(geometrical　product　specification)语言，以几何学理论为基础，适合于描述理想几何形状的工件。以此为基础制定的设计规范没有考虑生产过程中实际工件的多变性，缺乏表达各种功能和控制要求的图形语言，图纸不能精确表述几何特征误差控制的要求，从而造成功能要求失控;检验过程由于缺乏误差控制的设计信息，使得合格评定缺乏唯一的准则，从而造成测量评估失控;标准体系缺乏功能要求、设计规范及测量评定方法等相关信息之间准确的表达和系统的传递方法，造成设计和功能的不统一，检验与设计的不一致。

　　以几何学为基础的测量方法，已经不能适应现代先进制造业的发展。为此，ISO/TC　213提出了以计量学为基础的新一代GPS标准体系，对形位误差的GPS理论指导下，以三坐标测量机为测量工具，建立适用于轴线对面在任意方向上的垂直度误差评定的数学模型并获得准确的误差值，保证产品质量与性能。

　　1　基于新一代GPS的垂直度误差评定模型

　　线对面的垂直度误差评定是控制被测要素对基准要素在给定方向上的变动。在新一代GPS标准体系中，为了规范几何产品的误差评定过程，提出了操作、操作算子等方法[1]。操作是获得几何要素的特征值及特征的几何变动范围(极限值)的基本数学工具，操作分为要素操作和评估操作。其中，要素操作包括分离、提取、滤波、拟合、集成、构造6种，拟合操作定义了基于计量数学的各种拟合目标函数。

　　1.1　基准平面的拟合

　　进行误差评定时，由于其基准不是理想要素，故先把基准理想化。基准平面的拟合方法有最小二乘法、最小区域法等，利用这些方法拟合的平面最接近于实际平面，且符合ISO标准。为此，多年来一直有研究人员致力于这方面的研究[2-3]。

　　按照ASME标准，平面拟合要素应符合最小条件，即被测平面对拟合平面的最大变动量为最小。根据最小二乘法的原理，必须使被测表面上的全部观测值与评定基准的回归值偏差的平方和达到最小。在空间坐标系oxyz中，理想的最小二乘平面方程π1为

　　被测轮廓上各点(P(xi，yi，zi)，i=1，2，…，n)到此平面的距离为

　　由平面度的定义知，平面度误差为

　　由此，求满足最小二乘条件的拟合平面转化为求l、m、n的值，使目标函数f最小。