声源识别的柱面声全息方法与数值实现研究

    自从20世纪80年代初诞生以来,近场声全息(NAH)逐渐成为重建三维空间声场和识别噪声源的有力工具之一,因为它包含了比一般噪声测量技术更为丰富的声场信息。通过对全息面上二维声压数据的测量可以推算出整个空间内的声学信息包括声压、微粒振速和声强等。NAH克服了传统声全息在重建过程中受到波长分辨率的限制,而具有更高的重建分辨率,因此受到了许多研究人员及相关公司的重视,在过去20年中得到了极大的发展,国外还出现了商业化的设备和软件。NAH具有空间推演的能力,缘于空间声波受到波动方程的约束。根据求解该方程方法的不同主要可以划分为:空间声场变换(STFT)方法[1～2],边界元(BEM)方法以及Helmholtz方程最小二乘法(HELS)[3～5]。

    基于STFT的声全息是最早提出的,同时也是计算最为迅速的全息技术,其实用性很强。根据全息测量面形状不同,又可以划分为平面、柱面和球面声全。20世纪80年代末,国内一些高校和科研院所学者对近场声全息技术开始了研究,不过所讨论的问题大多集中于平面声全息技术[6～10]。对于工程应用中常见的压缩机、电动机等柱状或类柱状声源,仅采用平面声全息处理这些问题还是不够的。本文介绍用于此类声源识别的柱面声全息技术,并给出一种简单的全息重建实现算法。通过对不同类型声场的仿真模拟表明该种算法的有效性,最后分析了重建误差同测量误差之间的关系。

    1　柱面声全息原理

    由理想流体媒质中小振幅声波的波动方程,可以得到不依赖于时间的稳态声波场的Helmholtz方程

2p(x,y,z) +k2p(x,y,z) = 0 (1)

    式中　p(x,y,z)为空间点的复声压,是直角坐标x,y,z的函数;k=X/c=2P/K为声波数;c为声速;K为特征波长。

    令x=rcosH,y=rsinH,可以将直角坐标系转换为柱面坐标系,Laplace算子在柱面坐标系下可以表示为

    此时在柱面坐标下,可以采用分离变量法求解方程(1),假设解的形式为

    将式(3)代入柱面坐标下的Helmholtz方程,得到

　　由于含有pz的项仅与坐标z有关,故可设该项等于常数-k2z,结果如下所示

　　同理,也可以将仅与角度H相关的项表示如下

    若将式(5)和(6)代入式(4),那么式(4)可以重新记为

　　通过以上分析得到的式(5)和(6)均为二阶常微分方程;公式(7)在kr取值为式(8)时为Bessel方程,在kr取值为式(9)时为修正的Bessel方程。而由方程(5)可以解得

pz=Aeikzz(10)

    式中　A为待定常数。方程(6)的解为

pH=BeinH(11)

    式中　B为待定常数,由于pH是角度H的周期函数,故n只能为整数。而方程(7)的行波解为