最小二乘圆在定向管平行度测量中的应用

　　1 引言

　　在火箭炮定向管平行度误差的非接触测量中,因为采用定向管两端的坐标差值计算平行度误差的原理(见文献1),则精确地获得各定向管的圆心坐标,在定向管平行度误差测量中极为重要,也是图像处理过程中最关键的一步。目前,求取圆心坐标的方法有多种,比较常用的是最小二乘法。但对于提取出的含有噪声的圆环形边缘线,最小二乘圆计算出的坐标还不够精确。本文在最小二乘圆的基础上,利用Matlab中图象处理工具箱中的函数与自己编制圆心坐标求解函数结合起来计算各管的圆心坐标,据此得出的定向管平行度测量结果,使测量误差的精度提高了很多。

　　2 最小二乘法求圆心坐标的原理

　　以实际提取出来的边缘线上的像素为采样点,假设有m个采样点,取m=2k(m为偶数),采样数据的极坐标形式为Pi(Δri,θi), (i=1,2,,,m),在数据处理时以假设的圆心O1为圆心,从而得到m个从O1到采样点Pi的实际圆半径ri, i=1,2,...,m。在以O1为坐标原点的极坐标系中,令最小二乘圆的圆心为O(a,b),半径为R,最小二乘圆心与假设圆心O1的偏心为e,各离散采样点Pi到最小二乘圆的径向偏差为εi(i=1,2,,,m ),Pi到O1的连线O1Pi与极坐标轴夹角为θi(i=1,2,m ),如图1所示:

　　再将f(e)按Maclaurin公式展开,因为:

　　于是:

　　根据最小二乘法原理有:

　　下面求满足式(1)条件的R,a和b:

　　数据的结构矩阵为:

　　正规方程组的系数矩阵为:

　　因采样时,在边缘线上按等角度间隔采样,

　　则有:

　　由于m≠0,所以矩阵A的逆矩阵A^-1一定存在,且为:

　　若令D=[r1, r2,,, rm]^T,则正规方程组的常数相矩阵为:

　　又令P=[R,a,b],则正规方程组的矩阵表达式为:

　　从理论上讲,由式(5)可以求得最小二乘圆的圆心和半径。最小二乘圆的圆心坐标分量为:

　　最小二乘圆的半径为:

　　3 定向管圆心坐标的求取

　　3.1 最小二乘圆各参数的求取

　　为了计算单张图像上各个定向管的圆心坐标,使用Matlab语言编制了imcircle函数。计算策略是:在进行计算前,利用Matlab中bemorph函数将图像分成若干部分,特别是要计算圆心的部分,必须使每一部分包含一个整圆,这样运用最小二乘法计算圆心才能保证采样点比较准确,计算出来的坐标比较精确。其计算函数程序流程如图2所示。

　　3.2 圆心坐标的精确求取