用矩阵方法设计变焦镜头

    引言

    在现代社会中,变焦距镜头有很多应用,比如数码相机镜头,高速摄影镜头和某些现代化光电武器中的观瞄装置等。它们在像素和体积轻薄化方面不断地对变焦距设计提出更高的要求。

    通常,变焦距设计一般先进行变焦距的高斯光学计算[1-4],计算出前固定组、变倍组、补偿组和后固定组等各组的焦距、组间隔等;然后用焦距、组间隔求得各组元第一、第二近轴光线在各组元上的投射高度和入射角;再由初级像差理论计算赛德(Seidal)像差和,最后由赛德像差和求解方程组,得到各组元的P∞和W∞,分解P∞和W∞可得到各组元结构参数。与传统方法不同的是,笔者从矩阵光学理论出发,首先建立变焦距光学系统的光线传输矩阵,以此建立一个非线性方程组,然后利用数学软件直接解出各组元的焦距、组间隔。最后,以一个变焦距镜头的设计为例,演示了此方法的设计过程。

    1　用矩阵方法计算变焦距一阶特性

    变焦距系统一般都由前固定组、变倍组、补偿组和后固定组4部分组成(当然也可能去掉前固定组或后固定组,或再加入前调焦组,后固定组分离等变形)。通常的四组元变焦系统中,前固定组和后固定组一般为正光焦度系统,变倍组为负光焦度系统,补偿组光焦度可正可负。补偿组光焦度为正,称为正组补偿变焦系统,反之为负组补偿变焦距系统[5-6]。

    　正组补偿的变焦距系统原理如图1所示。图中四组元的焦距假定为f1,f2,f3和f4,各组间隔分别为x,y,z。这个四组元光学系统的光线传输矩阵为

　　在使用数学软件进行求解方程组时,没有必要把a,b,c,d的具体表达式求出来,只需要直接使用可。比如Mathematica中

a=M[1,1];b=M[1,2];c=M[2,1]

    如果我们选取3个焦距为变焦位置(短焦,中焦和长焦),那么要想求出4个组元的焦距和各个焦距下的组间隔,则应求取4个焦距加3个位置时的组间隔,共13个变量。这需要找到这13个方程组然后求解之。

    由矩阵光学可知:

    式中:ftotal是整个系统的焦距;l′F是系统的后焦截距。令(2)式为每个焦长时的焦距值,可以得到3个方程;令(3)式的后焦截距为一定值(比如4mm),又可以得到3个方程;为了变焦的需要,使每个焦长状态下3个间隔x,y,z的和值保持不变(比如等于8mm),又可得到3个方程。这样,再找4个方程即可。

    从矩阵光学理论可知,光学系统的前焦面到后焦面的光线传输矩阵为

    因此,对3种焦长状态下计算的3个矩阵N的第一行第二项就是系统焦距值,这样我们又得到3个方程。那么,剩下的一个方程可以用任一焦长时矩阵N的后焦截距值为零给出。针对13个变量对应的13个方程,它们应有唯一数值解,我们可借助数学软件Mathematica来求解。