直线度双节距法测量数据模型的建立和分析

　　1 引言

　　直线度误差是衡量机器、仪器产品质量的一项重要指标。例如机床导轨表面的直线度、平面度不好,将会影响机床刀架的运动精度。因此,如何在生产实际中解决直线度测量误差较大的问题,在不增加设备投入的情况下,对原始数据采用较精确而简单的数据模型,以获得准确度高的处理数据,会为后续误差评定工作提供必要的条件。

　　2 原理

　　直线度误差测量主要采用节距法,即在测量时,首先把被测要素按照一定长度(节距)划分为若干等分,然后用微小角度测量仪器测出各等分段相对于自然水平基准某一固定光轴的倾角,再根据等分段的长度将各段的角值偏差换算为线值偏差,根据各段的误差值评定被测要素的直线度误差值。节距法通常可分为传统布线法[1]和双节距法[2]。

　　2.1 传统布线法

　　传统布线法又称单节距法[3]。如图1所示,设各个端点为A0,A1,,,An。将被测要素划分为n等份,设在每一等份所测得值分别为h1,h2,,,hn,则被测点相对于A0点的最佳估计值为:

　　2.2 双节距法

　　双节距法是在单节距测量上的一种拓展。为了保证测量的精度,双节距法在使用单节距法测量后改变测量的节距,即取其双倍节距再做测量,测量后出现一组多余实验数据。双节距法测量如图2所示。其中,h1,h2,,,,hn是采用单节距法测得值,而hn+1,hn+2,,,,h2n-1是采用双节距法测得值。采用双节距法能够提高测量精度,本文讨论在双节距法测量中,如何将原始数据进一步优化,使其成为最合理的值。

　　3 数学模型的建立与分析

　　合理选择测量方法和数学模型是提高测量准确度和精确判断、分析数据的依据,也是保证产品质量和提高生产效率的重要手段。因此应合理选择简单而高效的数学模型,对所测的各种数据进行优化修正,提高其测量精度,使得处理完的数据能够更好地反映实际情况。

　　3.1 数学模型的建立

　　设有一组相互独立的随机变量{hi},i=1,2,,,m(m=2n-1)。可建立如下观测方程:

　　则方程组(2)可以表示为

　　式中:

　　Δ—未知偏差向量;

　　X—未知参数向量;

　　A—系数矩阵。

　　设。其中R2为单位权方差(未知),P为观测值权阵,

　　pi为随机变量hi的权。则式(3)可以概括为

　　当测量平差时,未知偏差向量Δ用观测值余差向量v代替,式(4)可表示为

　　式(5)称为观测方程或误差方程。

　　由于不同精度或不同性质的观测值参加同一平差时,必须考虑它们的权阵,采用最小二乘估计的准则函数[3]: