一种基于MATLAB的圆度评定方法

　　1 引言

　　目前在生产实践中,圆度的测量仪器主要有圆度仪、三坐标测量机等,而圆度的评定和计算则是通过圆度仪、三坐标测量机等精密仪器自带的计算程序来完成。由于设计者对程序严格保密且这些程序大都价格不菲,因此,使用者希望开发更多、更方便的圆度评定方法。实际上,圆度评定和计算的过程就是一个按照圆度评定标准构造函数原型进行优化求解的过程。随着MATLAB软件功能的日益完善,目前MATLAB已拥有600多个工程中可用的数学运算函数,这些函数中所使用的算法作为科研和工程计算的最新研究成果,都经过各种优化及容错处理,使用起来具有很高的鲁棒性和可靠性。在进行优化计算时,只需按要求构造正确的函数模型,然后调用MATLAB的优化函数即可得到满意的计算结果;同时,通过调用MATLAB的插值函数和可视化函数还可方便地实现求解结果的可视化。因此,将MAT-LAB软件引入圆度评定,将会为圆度评定的实现提供新的选择。

　　在GB7234-875圆度测量术语、定义及参数6中,圆度误差的评定方法有:最小区域圆法、最小二乘圆法、最小外接圆法和最大内接圆法。

　　最小区域圆法是以最小区域圆MZC作为评定基准圆的方法(见图1),按此方法求得圆度误差值$ZZ图1 以最小区域圆圆心评定圆度误差ΔZZ

　　式中：

　　Rmax、Rmin—各测点相对最小区域圆MZC的最大、最小偏离值；

　　Ri—各测点相对最小区域圆MZC的偏离值(在最小区域圆MZC外侧取正值,内侧取负值)；

　　同理,分别将最小二乘圆(LSC)、最小外接圆(MCC)和最大内接圆(MIC)作为评定基圆则可分别求得圆度误差ΔZq、ΔZc和ΔZi。

　　2 圆度评定数学模型

　　2.1 最小区域圆法

　　根据圆的标准方程,用最小区域圆法推导出计算公式。假设圆在XOY平面或在平行于XOY的平面上,则最小区域圆的一般方程为

　　测得该圆轮廓线上n(n>3)个点,各点坐标为xi、yi(i=1,,,n),则各点到该圆圆心的距离为

　　按最小区域法构造以下函数,该函数的实质是求解关于圆心坐标xc、yc的最优化问题,求解结果xc*、yc*即为最小区域圆的圆心坐标值:

　　式中：

　　[Ri]max、[Ri]min—各点距评定圆圆心距离的最大值和最小值。

　　2.2 最小二乘圆法

　　最小二乘圆的标准方程参见式(2)。

　　测得圆轮廓线上n(n>3)个点,各点坐标为xi、yi(i=1,,,n),各点到最小二乘圆的距离为

　　按最小二乘法构造以下目标函数,该函数的实质是求解关于圆心坐标xc、yc和圆半径Rc的最优化问题,该函数求解结果xc*、yc*、Rc*即为最小二乘圆圆心坐标值和半径: