圆度测量中测量点数的确定

　　引言

　　圆度是几何量检测中经常需要测量的形状误差参数。由于圆形工件表面存在确定性的波动和随机扰动,相对于尺寸的测量,形状误差的测量往往需要更多的测量点数,才能确定形状误差的特征和大小。测量点数的多少影响测量精度和测量成本,所以有必要研究在一定的测量精度要求的前提下,根据圆形表面的几何特征来确定需要测量的点数。圆度测量问题的研究集中于如何高精度、高效率地实现最小区域或最小二乘法评定[1～3],总的说来,这方面的研究已比较成熟。Dowling提出在测量工件的形状误差时要综合其确定性成分和随机因素来考虑布点策略,但没有给出具体的结论[4];久曾神煌从谐波频谱的角度对圆度测量点数的选取问题进行了研究,并得出经验公式为[5]

　　该公式的前提是谐波最高次数M以下的各阶谐波幅度相同,且没有考虑随机误差的影响,实际应用时需要对圆形工件表面的几何特征有先验的或理论的认识,而且测量点数较多(如M=5,容许误差Q=1%,则要求测量点数N=110),且无法对点数的合理性进行判别,所以没有太大的实际意义。其他有关这方面的研究可参阅文献[6～9]。

　　1　最小二乘圆度测量原理和存在的问题

　　设在圆上均匀测量N点,各点的坐标值为(xi,yi)(i=1～N),圆方程为

　　式中:(a,b)——圆心坐标

　　R——圆的半径

　　则通过最小二乘法寻找最优的圆心坐标(a′,b′)和半径R′,使得E最小:

　　则圆度为

　　圆表面形状具有周期性的特征,因此可以对测量数据作FFT处理,变换到频域进行分析,得到圆周上的各次谐波组成,然后作FFT全域插值,即由各次谐波的幅度和相位重构圆表面形貌,再采样N1点。则对FFT全域插值得到的N1点数据进行最小二乘处理往往可以得到优于直接最小二乘(N点)的圆度估计值。

　　例如令圆的半径为50mm,仅含有确定的二次谐波,谐波幅度为0.5mm,表1列出当初始相位等于0.5rad时,N点直接最小二乘的圆度和经过FFT全域插值(N1=512)后再计算出的圆度与测量点数(N)的对应关系。

　　表2列出当N=32,初始相位等于不同值时的圆度结果。

　　由上面的数据以及大量的实验可以看出:即使圆上仅含有低阶的谐波成分,采用最小二乘法估计圆度,仍然需要较多的测量点数才能获得较高的测量精度,如果采用FFT全域插值计算圆度,只需满足采样定理即可,即N大于最高谐波次数的2倍,如取3倍(当取N等于最高谐波次数的2倍时,最小二乘或FFT全域插值得到的圆度是初始相位的函数,其圆度值从零变化到2倍的谐波幅值,因此,取N等于最高谐波次数的2倍是危险的)。