基于超声波声速测定实验的谐波分析

　　超声波声速测定实验是根据声波传播的速度υ与其频率f和波长λ之间的关系，即υ=fλ，采用驻波法和相位比较法测出频率在30kHz以上超声波在空气中传播时的频率和波长，再计算出速度. 由于存在各种周期性误差，使得测量结果的实验值与理论值的相对误差比较大，有时甚至超过5%. 为此，有必要分析产生误差的原因及其特征，以便采取有效的措施控制和减小误差，提高实验结果的可信赖度.

　　1 引起周期性误差的原因

　　周期性误差是常见的一类系统误差，测量实践中存在着大量的周期性误差. 超声波声速测定实验的系列测量结果中往往含有周期性误差，周期性误差含有若干误差成分，其一来自于超声波声速测定仪中机械传动机构使用的旋转零部件，如丝杠; 其二来自于信号源仪器中电流、电压信号常呈周期性变化; 其三来自于大量的干扰信号常呈周期性变化，因而测量结果中所含周期性误差常是诸项周期性误差分量综合作用的结果.

　　2 采用实用谐波法分析实验的周期性误差

　　为确切地估计各周期误差因素的影响，利用实用谐波分析的方法将周期性误差的各谐波分量分解开来，分别给出各分量的幅值和相角，从而为分析和控制周期误差提供了有效手段.

　　2.1谐波分析法原理

　　若函数f(x)在某区间内满足一定的收敛条件，则该函数在这一区间可展开成傅里叶级数，这是谐波分析法的基本依据.

　　设函数f(x)在区间[-1，l]上满足以下条件: 1)函数f(x)在区间[-l，l]上连续或只存在有限个第一类间断点; 2)函数 f(x)在区间[-l，l]上只存在有限个极大点和极小点. 则函数f(x)就可展开成傅里叶级数

　　式中傅里叶系数分别为

　　式(1) 还可化成另一种形式，设

　　则

　　得

　　式中级数项称为f(x)展开式的第n阶谐波分量，其中: cn为n阶谐波分量的幅值; φn为其初相角，相应的周期为。

　　式(5)表明，函数f(x)在区间[- l，l]上可分解为一恒定分量和一系列正弦谐波分量之和.

　　特别地，以2l=2π为周期的函数f(x)的k有限次谐波分解式则为

　　式(6)表明，周期函数f(x)可分解为一恒定谐波分量和有限个谐波分量之和.

　　2.2 实用谐波分析法

　　实用谐波分析法是通过对y=f(x)进行逐点实际测量，由所得函数y=f(x)的系列测量数据yi=f(xi)按前述的谐波分解公式求出各系数，从而给出具体的各次谐波分量.

　　为便于分析计算，按偶数将一个周期等分为若干段，在这些等分点上测得函数值y0=f(x0) ，y1=f(x1) ，…，yi= f(xi)，…，则由式(2)可得由各测量值 yi表示的各傅里叶系数的表达式