弹性连杆机构振动主动控制中作动器与传感器的位置优化

　　随着生产力水平的提高和高科技领域发展的需要,大部分以单自由度或多自由度机构为核心的机电系统正向高速、高精度、轻型、重载和自动化方向发展,但伴随这些发展而来的是振动和噪声问题。对这类机构的有害振动进行有效控制、对提高产品质量、降低振动造成的工业噪声具有现实意义。目前,有关这方面的研究已经有了一定的进展[1～3]。由于受计算、分析等能力的制约,振动控制中所用的传感器和作动器的个数是有限的,而柔性机构的振动模态一般是无穷维的。要以有限个数的元件实现对无穷维系统最有效的检测与控制,有必要对传感器和作动器的形状、尺寸以及它们的组合形式、在机构中的分布位置等进行优化。本文针对连杆机构这类时变系统模态不恒定的特点,依据系统的模态能控性和能观性分析,确定了能综合反映主动控制器作动和检测能力及避免溢出的性能指标函数,并建立了相应的优化模型,在此基础上,采用约束变尺度法对优化问题进行了求解,从而确定机构中作动器和传感器的最佳布置位置。

　　1　弹性连杆机构振动主动控制方程

　　以压电元件作为作动器和传感器,应用有限元法和复合Hamilton虚功变分原理,建立的弹性连杆机构的振动主动控制方程为[7]

式中M,C,K,DA,Ds分别为系统的质量矩阵、当量阻尼矩阵、当量刚度矩阵、控制矩阵和输出矩阵;P为系统的广义力向量,它既包括施加在机构的外力或外力矩,也包括系统由于刚体运动所产生的惯性力;TA为控制输入向量。该数学模型里的各个系数在不同的刚体位置、不同的机构运行速度下都是不一样的,但对于给定的任一刚体位置,它们都是可求的已知量。该模型综合考虑了系统的刚弹耦合效应、机电耦合和作动/传感元件对系统质量和刚度等的影响,它们的存在使得方程中的C和K均为不对称矩阵。

　　式(1)和式(2)对应的状态空间方程为

　　采用复模态理论对方程(3)和(4)进行变换后,即可得到模态空间下解耦的状态方程为

式中X的X′为系统的左、右特征向量矩阵,下标R、I分别表示实部和虚部。

　　2　弹性连杆机构振动主动控制的作动/传感元件位置优化模型

　　2.1　目标函数

　　式(5)和(6)的分量形式可写为

　　那么,只要该阶模态就是可控的。定义模态能控度i两个奇异值的几何平均值,即

　　于是,由前面讨论的“溢出”现象的发生机理,作动器的布置形式应该使得受控模态的尽可能地大,而剩余模态的尽可能地小。同理,定义模态能观性矩阵Ei为