超声波破碎枝晶数学模型初建

　　当铝合金熔体凝固时导入超声波,可以使树枝状晶破碎形成许多新的晶核而细化晶粒[1~9]。然而在用超声波干涉金属结晶过程的试验中,由于晶粒的生长形态极其复杂,这通常很难建立起超声波对晶粒实际作用条件的数学模型,很难从理论上表明影响晶粒破碎条件的因素及其影响规律。我们对该情景作了一些合理的假设和必要的处理,初步建立起超声波破碎晶粒理论的数学分析模型,以供读者们讨论和交流。

　　1 数学模型初建

　　设晶粒在自然生长时相邻质点的间距为a。而当超声波通过时,晶粒要在某处发生断裂,则该处质点与相邻质点被拉开的间距必须达到一定值b。由此我们定义,微观晶粒的瞬时断裂伸长率

　　超声波在晶粒中传播,由于晶粒的形状很不规则,故只能沿着超声波在晶粒中的实际传播方向建立自然坐标系(x),并以超声波开始传入晶粒的位置为坐标起始位置。现在晶粒中任取两点,其初始坐标分别为x1、x2(且x1<x2),则该两点的间距为(x2-x1);假设在超声波通入后的t时刻,这两点的坐标分别变为x'1、x'2,此时间距变为(x'2-x'1),由式(1)写得该两点之间部分的伸长率

　　可将式(2)改写为

　　式中,(x'1-x1)、(x'2-x2)分别为t时刻x1、x2偏离各自平衡位置的位移。

　　如果x1、x2两点的距离为无穷小,即x2-x1=dx,并且超声波在晶粒介质中的位移波动函数为p(t,x),则式(3)又可写为

　　式(4)表示的是晶粒发生断裂时的临界条件。因此从理论上我们认为,晶粒要在坐标x处发生断裂,则该处质点的运动应满足

　　然而,金属结晶时晶粒的形状总是不规则,所以式(5)通常只是变相地被满足。假若晶粒在沿着超声波传播方向上的截面积逐渐减小,那么超声波的振幅就将逐渐增大,反之亦然。实际上,超声波在晶粒中传播与在变幅杆中传播具有相似性,因此可将式(5)修正为

　　式中,φ(x)为晶粒破碎前沿超声波传播方向的形状函数,这与晶粒的形状及超声波的具体传播方向均有关,并假定在超声波的一个周期时间内晶粒未来得及生长。

　　将式(6)进一步展开,得

　　又假设穿过晶粒的超声波为沿着x轴正向传播的平面简谐纵波,那么可将位移波动函数写为[9]

　　式中,A为质点的位移振幅,这里指超声波对晶粒的输入位移振幅;ω=2Pf为角频率;f为超声波的频率;k=ω/c0=2π/λ为角波数,λ为超声波在晶粒介质中传播的波长。

　　于是将式(8)代入式(7),并整理得

　　式(10)中,不论x在何处, sin(ωt-kx+θ)总能在t的调节下达到最大值1。因而,时间上的常数A、M、N才是真正决定条件是否能够满足的要素,并且振幅A、角波数k、晶粒截面变化率及形状函数φ(x)等参数的值越大,条件就越容易满足。