对汽车油罐车容量检定中插值算法的研究

　　一、引　言

　　对汽车油罐车容量的检定,按JJG133-1987《汽车油罐车容量试行检定规程》(以下简称规程),是使用二等标准金属量器通过容量比较法,得出若干检定点上的空高(液高)—容量关系,再通过插值算法编制出间隔较小的空高(液高)—容量表(以下简称容量表)。

　　规程规定在油罐标称总容量的75%~97%范围内检定点数n+1≥13,编制容量表时使用n次函数插值。《计算方法》一书中提到使用高次插值容 易在插值区间两端产生剧烈的振荡,称为龙格(Runge)现象,一般推荐使用分段低次插值。那么使用分段低次插值时,如何确定插值次数以便取得最好的效果 (即插值产生的不确定度最小)?本文将对此进行研究。

　　二、插值算法及其不确定度评定方案

　　1·插值算法简介

　　检定点数据有n+1个:液高h₀、h₁…hn和容量V₀、V₁…V_n,要求其中任一区间(hi,hi+1)内的m次插值函数(0≤i≤n-1,m≤n),应使用距该区间最近的m+1个检定点数据。若m

　　由拉格朗日(Lagrange)插值多项式可确定区间(hi,hi+1)内的m次插值函数为:

　　其中,s和e分别表示用于插值的m+1个点中的起点和终点序号。

　　2·对插值算法的不确定度评定方案

　　为了评定插值算法产生的不确定度,笔者在计算机中使用Visual Basic 6.0软件开发了一套专用于本项目研究的软件,通过建立油罐的数学模型,使得输入油罐尺寸、检定点容量间隔和检验点高度间隔等数据后,可产生n+1个检定点数据:h₀,h₁…hn和V₀, V₁…Vn,以及p个检验点数据:h₁′,h₂′…h_p′和V₁′, V₂′…V_p′。用检定点的数据进行不同次数的插值,计算出各种插值在各检验点上的插值容量V″k,和其误差ΔVk=V″k-Vk′(k=1,2,…,p),进而评定各种插值产生的不确定度。

　　三、插值效果的比较

　　输入若干个典型油罐的数据,使用1~16次插值分别计算,求出各种插值的最大误差(指误差绝对值的最大值,下同)。表1和图1为油罐编号(1)插值曲线图;图2为油罐编号(1),9次插值误差曲线图。

　　由以上数据和典型图像可看出:

　　1·5~9次插值有较好的插值效果;1~4次插值效果欠佳;10次以上的插值会产生极大的误差,主要是在插值区间两端产生了剧烈的振荡,这就是本文引言中提到的龙格现象,如图1所示。

　　2·所有的插值计算的最大误差都是产生在插值区间的两端,因此必须采取以下措施加以控制:在区间两端减小检定点间隔;在97%~100%的容量范围内增加1~2个检定点(称为扩展检定点),其数据用于插值计算,但容量表不出该范围内的数据。