开孔板孔形参数的弹性优化及材料选择

　　0 引言

　　在机械制造、航空、造船、建筑等领域，开孔板是一种十分常见的结构。 但开孔必然引起应力集中现象, 这一直是工程技术人员十分关心的问题。 本文基于弹性力学的复变函数理论，首先对开孔板不同受力状态下的孔边应力进行分析，然后得到相应的孔形优化参数和材料选择的依据。

　　1 孔口问题

　　1.1 条件假设

　　考虑一个带孔的各向同性的弹性板, 承受分布于板边缘,并作用在面内的力而变形。 假设孔的尺寸比板的尺寸小得多，并且孔不在板边的附近，那么可以假定板是无限的，因而可以忽略外边界的影响而使问题得到简化。 在这里考虑平面应力问题，对于弹性体，是适用于广义虎克定律的。 设拉应力为正，压应力为负。

　　1.2 理论分析

　　设有薄板，符合1.1 的条件假设，它的长轴和短轴分别为2a 和 2b(见图1)。

　　设在薄板与 x 轴成 α 角的方向受有应力 p 而孔边不受面力。 分析孔口附近的应力分布，可得应力分量的复变函数表达式

式中σθ———θ 角方向的切向应力;

　　σρ———径向应力;

　　p———均匀拉应力;

　　Re———取复变函数的实部;

　　ζ———ζ 平面的常数。

　　孔边应力是最重要的应力，在孔边σρ=0，ζ=σ。故由式(1)得切向应力

　　(1)单向拉应力作用下的孔边应力

　　当拉应力平行于x 轴，即α=0°时，文献[4]给出了详尽的解答，由式(2)得到孔边应力

　　此时最大正应力

　　此时应力分布如图2 所示 (图中椭圆内部为压应力)。

　　同理可得拉应力平行于 y 轴(α=90°)的孔边应力

　　此时应力分布如图3 所示。

　　由以上分析可知σmax (4)>σmax (7)，σmin (5)=σmin (8)，即椭圆孔的长轴与拉应力方向平行时，有利于减小孔边应力;且此时 b/a→0，孔口应力 σmax→p，即 σmax随b/a 的减小而趋向于 p，同时也增加了垂直拉应力方向的截面积，有利于孔口的稳定。

　　(2)双向拉应力作用下的孔边应力

　　设在y 轴方向增加拉应力q=λp，即令式(2)中α=90°，将p 替代为q=λp，并与式(3)相加得双向拉应力作用下的应力分布

　　或a+b=0(无意义)。

　　将λ=b/a 代入式(9)得

　　此时σθ是一个与角度 θ 无关的常量，孔口应力处处相等，当 λ>1 时，b=λa>a,即此时 b 为椭圆的长轴半径，a 为短轴半径。 可见，按照两向应力的比值λ 选择椭圆参数且使长轴方向平行于较大应力方向最有利于孔口的稳定。