温度场中桥面矩形薄板的主共振-主参数共振

　　1 引言

　　近年来,不同几何特性板的非线性振动得到人们广泛的研究,这些研究涉及几何非线性对板的振动的影响,还考虑了各向异性、温度、剪切变形或转动惯 性等更为复杂的因素。桥面板是桥梁工程中的常见结构,有许多学者考虑各种非线性效应的影响,讨论板在不同荷载形式下的振动问题。不同边界条件的矩形板可以 作为桥面板的理论计算模型,文献[1-4]对薄板非线性问题进行了研究。非线性弹性地基上矩形板可以作为副桥面板的理论计算模型,文献 [5]81[6]1921研究非线性弹性地基上矩形板的复杂混沌运动和参数共振问题。桥梁受多种环境影响,其中温度是主要影响因素之一。文献[7]研究温 度场中弹性矩形板非线性振动问题。本文考虑温度影响,建立小挠度矩形板在横向均布简谐激励作用下在温度场中的非线性动力学方程。利用对该类型板非线性弯曲 问题的研究,找到能够满足所有边界条件的近似挠度函数,然后用Galerkin方法把用偏微分方程表示的非线性动力学方程转化为用常微分方程表示的非线性 振动方程。应用多尺度法研究系统主共振)主参数共振问题。

　　2 基本方程

　　考虑置于非线性弹性地基上两边简支的矩形薄板,板厚为h,长、宽分别为a和b,在其纵向和横向分别受有均布简谐激励P=P₀+P_1cos (81t)和F_cos(82t),阻尼力惯性力,非线性弹性地基板的动力学方程由下式给出^[5]82[6]1922

　　为抗弯刚度,E、v分别为弹性模量和泊松比,ρ为密度,c为阻尼系数,W为板的横振位移,Φ为应力函数,M_T、N_T为热矩、热力。假设矩形薄板四边为不可移简支条件,那么其边界条件为

式中,αs为热膨胀系数。

　　假设温度只是y的函数,取

　　由式(10)可以求得

　　对式(1)实施伽辽金过程

　　3 主共振)主参数共振理论分析

　　因为非线性项、阻尼项、参数激励项与和强迫激励项与线性项和加速度项相比是小量,研究系统主共振)主参数共振时,在非线性项、阻尼项、参数激励项与和强迫激励项前冠以小参数E,则式(15)改写为

　　将上两式代入式(16)中得

　　为了简化研究过程不失一般性,设为调谐值。采用多尺度法[8]研究系统主共振)主参数共振,选用两个时间尺度(T0,?T1),设系统主共振)主参数共振一次近似解为

　　消除永年项的条件

　　从上两式中求解u、v得

式(34)是系统主共振)主参数共振幅频响应曲线方程。