低频域结构噪声问题数值解法

　　如果流体的辐射载荷对弹性结构动力行为影响很小,则可将在声压场中的振动弹性结构看作为真空中的振动.然而在许多情况下,流体辐射载荷对弹性结构动力行为的影响不能忽略,弹性结构同声媒质域必须看作耦合的系统,必须耦合求解.

　　本文回顾了低频域结构噪声耦合问题的数值方法,主要是有限元法(FEM)和边界元法(BEM).由于边界元法能将高维问题转为低维问题,因而能节省计算机资源.特别对流体外域问题,由于求解域无限,以及无穷源辐射条件的处理,BEM的优点是显而易见的,使用BEM求解流体外域问题更有效.

　　然而引用BEM得到的系数矩阵与频率相关不能化为标准特征值问题.求特征值的典型方法是行列式搜索法(DSM),但DSM计算过程繁琐,占用计算机资源较大.内网格法(ICM)、双互惠法(DRM)、特别积分法(PIM)、系列展开法(SEM)对传统DSM方法作了改进,其特点和不足文中均给出相应论述.

　　1　有限元法^[1]

　　有限元法通常基于变分近似,使用变分原理,构造变分形式的结构噪声控制方程.使用结构位移作为结构变量,则弹性系统的能量泛函为:

式中:σij和εij分别为应力、应变;是位移矢量.

　　使用压力作为流体变量,则声系统的泛函表达为

　　式中:P为压力;ρ0为密度;c0为流体声速;ω为圆频率.该积分式的第一项为流体动能,第二项为流体势能.

　　选择一系列的基本函数来代表流体域,通常选为一次或二次多项式.方程的近似解要求选择合适的多项式系数,使由该多项式代表的声压值所引起的误差最小.通过对相邻单元间应用平衡方程,单元近似组合成全局近似.流体域和结构域交界面还应满足匹配条件,这样问题化为矩阵问题.一旦矩阵问题解出,各节点处的声压、位移就同时解出.

　　当单元尺度小于波长时,以线性单元近似结果会非常好.然而,当频率增加,波长变短,结果将发生畸变,此时不得不用更小尺度的单元.有限元法由于多项式基函数和得到的矩阵均与频率无关,因此在频域分析中,对多频率情况下的分析无需重新生成矩阵.此外,构造的矩阵是带状对称阵.有限元矩阵的频率无关性常用于模态分析中.控制各频率下各模态的幅度的方程是一个标量方程.

　　通过对矩阵方程的特征值分析,可以得到声系统的频域响应.当需要大量的频率分析时,这个方法十分有效.

　　有限元分析模态综合将一个大系统分解成一系列子系统,每个子系统的响应可由该子系统的模态得到.由这些约束的子系统模态所满足的平衡方程,可得到整个系统的模态参数.