基于二维近似熵度量轴心轨迹复杂性的研究

　　在20世纪90年代初,Steven M. Pincus从衡量时间序列复杂性的角度提出了近似熵(AE)的概念[1],并在心率信号、男性性激素分泌曲线等生物信号的复杂性研究中得到了广泛的应用 [2~4].本文对AE的概念进行了扩充,突破其仅对一维信号进行复杂性度量的局限,使之适合度量轴心轨迹二维信号的复杂性.在介绍了二维近似熵 (AE2d)的概念、性质及其物理含义之后,对某机组关键轴瓦的轴心轨迹进行了分析.分析结果表明,AE2d在表征轴心轨迹的复杂性方面具有很强的能力, 可以定量地评价回转机械的运行状况,从而为机械设备状态监测和故障诊断提供了一种行之有效的新方法.

　　1　二维近似熵的定义

　　作者运用近似熵的概念,在描述机械设备振动信号的不规则性和复杂性方面进行了初步的探讨,并成功地诊断出某汽轮发电机组轴瓦松动的故障[5]. 然而,常规的近似熵只适合于一维信号的描述,欲表征轴心轨迹(二维信号)的复杂程度,还必须对其进行概念上的扩充.因此,本文提出了二维近似熵的概念.二 维近似熵是用一个非负数来表示某二维时间序列的复杂性,越复杂的时间序列对应的值越大,下面给出具体的算法步骤.

　　设合成轴心轨迹的原始数据为x(i),y(i),i=0,1,…,N,预先给定模式嵌入维数m和相似容限r的值,则二维近似熵可以通过以下步骤计算得到.

　　(1)将序列{x(i),y(i)}按顺序组成m维矢量O(i) ,即

　　(3)按照给定的阈值r(r>0),对每一个i值统计d[O(i),O(j)]

　　与一维近似熵类似,嵌入维数m通常取2,考虑到在某些情况下,合成轴心轨迹的2个振动方向信号的幅值相差比较大,因此可取相似容限为

　　式中:Std表示时间序列的标准差;α为r的控制参数,α的取值范围通常为0·1≤α≤0·25.此时,r的物理意义为一个与各方向信号幅值相 适应的矩形区域,AE2d具有较为合理的统计特性[1],在本文的应用实例中,均采用m=2, r=[0·25Std(x),0·25Std(y)]来计算轴心轨迹的二维近似熵.

　　2　二维近似熵的含义

　　下面我们结合图1说明二维近似熵的含义,以2个时间序列对应点为坐标描出轴心轨迹.如图1所示,对于m=2,O(i)= [(x(i),y(i)),(x(i+1),y(i+1))],相当于图上相邻2个坐标构成的线段.以矢量a为参考,规定的r相当于在a的起点和终点各限 定了一个如图中所示的矩形阴影区域，如果其他矢量的首尾两点对应地落在阴影区域内,表示它在r的意义下与a相似,则该矢量成为入选模式,如图1a中的矢量 b和c.当m=3时,我们要求连续3个坐标点构成的矢量在r的意义下近似,实际上只要在m=2时,在入选的b和c中再检查新引入的一点是否落在如图1b中 所示的新增添的阴影区域中即可.此时,b在r的意义下仍与a相似,而c已被剔除.