谈一对边简支一对边自由矩形板自振频率解法

　　1 经典的振形函数表达式及错误认识

　　板横向自由振动的微分方程为[1]

　　w为自平衡位置算起的振形函数;X为自由振动的圆频率;m为板单位面积的质量;D为板的弯曲刚度.

　　对应图1所示一对边简支,一对边自由的矩形板,经典的振型函数表达式为

式(3)自然满足振动微分方程及x=0和x=a时的边界条件;由y=0和y=b时的边界条件,可得以Am,Bm,Cm,Dm为未知量的4个齐次线性方程;由Am,Bm,Cm,Dm不全为零的条件可得频率方程为

　　对应某一确定的m值,由式(4)可求出一系列的C值,再由式(2)求出相应的自振频率ω_m1,ω_m2,ω_m3,,,然后由4个齐次线性方程求出待定系数为

　　需要说明的是:式(4)无法计算出某一m值对应的最低自振频率Xm1,这是因为式(3)所示的振形函数表达式必须满足的条件,即相应的因此传的看法认为:板最低的自然频率等于相应简支梁的自然频率,即

这个结论是错误的,现说明如下:

　　如果式(6)成立,由式(2)得相应的满足式(1)所示的振动微分方程的振形函数表达式应为

式(7)自然满足x=0和x=a时的边界条件,由y=0和y=b时的边界条件及Am,Bm,Cm,Dm不全为零的条件得频率方程为

　　但取γ=A时,其值又不为零,式(6)、式(8)是相互矛盾的,说明式(6)是不成立的.

　　2 ω_m1的正确求解方法

　　一对边简支,一对边自由的矩形板,某一m值对应的最低自振频率ω_m1小于相应简支梁的自然频率这个结论可以由梁和板的相对刚度给予解释.一个简支梁承受均布荷载时,跨中挠度系数为但同样跨度的方板承受均布荷载时,板中点挠度系数为0.01309,自由边中点挠度系数为0.01501,均大于0.01302.说明板的弯曲刚度略小于梁,因此板的自然频率也应略小于梁,由式(2)得这时满足振动微分方程的振形函数表达式应为

式中:,式(9)自然满足x=0和x=a时的边界条件,由y=0和y=b时的边界条件及Am,Bm,Cm,Dm不全为零的条件,得频率方程

将式(11)代入式(9)后,得相应的振形曲线.

　　表1列出图1所示的方板(a=b,L=0.3)各阶自振频率[2],图2列出相应的振形节线图,并用Sup 93有限元程序计算了方板的前5个频率(表中括号内所示),二者是十分相近的,从而说明本文方法的正确性.

　　参考文献:

　　[1] 徐芝纶.弹性力学[M].北京:高等教育出版社,1982.

　　[2] 梁远森.弹性矩形薄板动力特征分析的集中质量法[D].郑州:郑州工业大学土木建筑工程学院,1999.