振动最优控制问题的优化

　　引　　言

　　振动控制是结构工程、机械工程、电子通讯等许多领域中的一个重要课题,特别是结构工程中,由于强台风与地震等环境作用难以避免,许多建筑结构因此而遭受严重破坏,故正日益受到重视。以动态规划原理为基础的最优控制方法,能够有效地控制系统振动,成为一大研究热点[1-4]。近年来,智能材料的发展,智能材料阻尼器的研制,为最优控制的实施提供了基础[5]。最优控制首先需要建立能合理地描述控制目标量的性能指标,然后导出相应的动态规划方程,求解该方程确定最优控制律。显然,动态规划方程的形式依赖于性能指标的选取,解析地求解该非线性的偏微分方程通常是困难的。最优线性二次(LQ)控制方法是其中最常用的一种简便方法[2,6]。对于无限长时间间隔的控制问题,如果性能指标中的拉格朗日函数为系统状态与控制力的二次型,它确定了最优控制律的一个形式解,最优控制力为系统状态的线性函数,是一种线性阻尼力和弹性力,相应动态规划方程中的值函数也为系统状态的二次型,其中系数由代数黎卡堤(Riccati)方程决定。

　　然而,实际振动问题首先需要控制的目标可能是系统某几个自由度相应的位移或加速度幅值,这与最优线性二次控制的性能指标的泛函形式不相一致;而且,最优线性二次控制律中没有直接地计及激励部分,也导致与实际控制目标间的差异,从而使最优线性二次控制效果受到一定的影响。考虑到最优控制律与性能指标相关,而性能指标中权系数的选取具有一定的随意性。于是,如何寻找到确定性能指标中权系数的一个依据,使最优线性二次控制的性能指标最接近于实际问题的控制目标,从而达到最优控制效果。本文提出系统振动最优控制问题的优化方法,以最优线性二次控制方法为基础,用该受控系统的响应表示实际问题的首要控制目标,根据其目标的极值化建立选取性能指标权系数的约束条件,优化性能指标,从而达到最优控制效果。

　　1　系统方程

　　系统的线性振动方程可表示为

式中X表示n维的系统位移向量,F表示n维的外激励向量,M、C、K分别为n维对称的质量、阻尼与刚度方阵,矩阵M与K正定,U表示m维的控制力向量,p为n×m维的位置矩阵,由控制力作用位置决定。用位移X与速度描述系统的状态,则方程(1)可改写成关于状态向量Y的一阶微分形式,即

　　2　最优控制

　　对于无限长时间间隔的控制问题,最优控制性能指标可表示为

式中L为拉格朗日函数。根据动态规划原理,可得控制问题(2)对于性能指标(4)的动态规划方程